В старой аккумуляторной батарее, состоящей из \(n\) последовательно соединённых аккумуляторов с внутренним сопротивлением \(r\), внутреннее сопротивление одного из аккумуляторов резко возросло до \(10r\). Считая ЭДС всех аккумуляторов одинаковой, определите, при каком сопротивлении нагрузки мощность, выделяемая на ней, не изменится при коротком замыкании повреждённого аккумулятора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Батарея из \(n\) аккумуляторов. У одного внутреннее подскочило до \(10r\), ЭДС все по-прежнему \(\mathcal{E}\).
До КЗ повреждённого. Полная ЭДС \(n\mathcal{E}\), полное внутреннее \((n-1)r+10r=(n+9)r\). Мощность на нагрузке \[ P=\left(\frac{n\mathcal{E}}{R+(n+9)r}\right)^2 R. \]
После КЗ. Повреждённый аккумулятор закоротили: его ЭДС и его \(10r\) ушли из цепи. Осталось \((n-1)\mathcal{E}\) и \((n-1)r\): \[ P'=\left(\frac{(n-1)\mathcal{E}}{R+(n-1)r}\right)^2 R. \]
Требуем \(P=P'\). \(R\ne0\), \(\mathcal{E}\ne0\), корни одного знака: \[ \frac{n}{R+(n+9)r}=\frac{n-1}{R+(n-1)r}. \]
Крест-накрест: \[ n\bigl(R+(n-1)r\bigr)=(n-1)\bigl(R+(n+9)r\bigr), \] \[ nR+n(n-1)r=(n-1)R+(n-1)(n+9)r. \]
Собираем \(R\): \[ nR-(n-1)R=(n-1)(n+9)r-n(n-1)r=(n-1)r\bigl[(n+9)-n\bigr]=9(n-1)r, \] \[ R=9(n-1)r. \]
Короткое замыкание «плохого» аккумулятора одновременно уменьшает ЭДС (минус одна банка) и уменьшает внутреннее (минус \(10r\)). На нагрузке \(R=9(n-1)r\) эти два эффекта точно компенсируются.