Аккумулятор подключён один раз к внешней цепи с сопротивлением \(R_1\), другой раз — с \(R_2\). При этом количество теплоты, выделяющейся во внешней цепи в единицу времени, одинаково. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Количество теплоты во внешней цепи в единицу времени — это мощность \[ P=I^2 R=\frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}. \]
По условию \(P(R_1)=P(R_2)\): \[ \frac{R_1}{(R_1+r)^2}=\frac{R_2}{(R_2+r)^2}. \]
Берём положительные квадратные корни (токи и сопротивления положительны): \[ \sqrt{R_1}\,(R_2+r)=\sqrt{R_2}\,(R_1+r). \]
Раскрываем: \[ \sqrt{R_1}\,R_2+r\sqrt{R_1}=\sqrt{R_2}\,R_1+r\sqrt{R_2}, \] \[ r\bigl(\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}\bigr)=\sqrt{R_1}\,R_2-\sqrt{R_2}\,R_1 =\sqrt{R_1 R_2}\bigl(\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}\bigr). \]
Если \(R_1\ne R_2\), сокращаем \(\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}\): \[ r=\sqrt{R_1 R_2}. \]
График \(P(R)\) стартует из нуля при \(R=0\), имеет максимум при \(R=r\) и снова падает к нулю при \(R\to\infty\). Горизонталь \(P=\text{const}\) пересекает график в двух точках, и их среднее геометрическое как раз равно положению максимума. Поэтому \(R_1\) и \(R_2\) — «пара» относительно согласования: одна меньше \(r\), другая больше.