В термостат нужно подводить тепло с постоянной скоростью. Во время опыта в нём изменяется температура, что вызывает изменение сопротивления нагревательной спирали. Нужно, чтобы выделяемая на сопротивлении спирали \(r\) мощность почти не менялась при малых изменениях \(r\). Постройте график зависимости мощности от \(r\) и определите, используя этот график, при каком соотношении \(R\) и \(r\) достигается желаемая нечувствительность мощности к изменению \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Источник \(\mathcal{E}\) с балластом \(R\) (или внутренним сопротивлением источника) питает спираль \(r\). Мощность на спирали \[ N(r)=\frac{\mathcal{E}^2 r}{(R+r)^2}. \]
График: \(N(0)=0\), \(N(\infty)=0\), один горб. Ищем вершину: \[ \frac{dN}{dr}=\mathcal{E}^2\,\frac{(R+r)^2-r\cdot2(R+r)}{(R+r)^4} =\mathcal{E}^2\,\frac{R-r}{(R+r)^3}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad r=R. \]
При \(r=R\) касательная горизонтальна: \(\delta N\approx\tfrac12 N''(\delta r)^2\) — изменение мощности второго порядка малости. Именно это и нужно термостату: спираль чуть нагрелась, \(r\) подросло на \(\alpha\Delta T\cdot r\), а мощность почти не сдвинулась.
По обе стороны от максимума чувствительность есть, и знаки разные. При \(r<R\) рост \(r\) увеличивает \(N\) (положительная обратная связь: спираль ещё горячее). При \(r>R\) рост \(r\) уменьшает \(N\) (отрицательная связь, самостабилизация ещё и по знаку). Работать лучше чуть правее вершины, но «почти нечувствительно» — именно на ней.