В сферическом конденсаторе ёмкости \(C\) поддерживается постоянное напряжение \(V\). Определите количество теплоты, выделяющейся в единицу времени на конденсаторе, если удельная проводимость среды, заполняющей конденсатор, \(\lambda\), а её диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon\approx1\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сферический конденсатор заполнен слабо проводящей средой: \(\lambda\) мала, \(\varepsilon\approx1\). На обкладках поддерживают постоянное \(V\) (подключены к источнику). Через среду течёт ток утечки, и на ней выделяется джоулево тепло.
Сопротивление утечки и ёмкость связаны универсально (задача 8.2.21): \[ RC=\frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\lambda}\approx\frac{\varepsilon_0}{\lambda},\qquad R=\frac{\varepsilon_0}{\lambda C}. \]
Мощность \[ N=\frac{V^2}{R}=\frac{\lambda C V^2}{\varepsilon_0}. \]
Тот же ответ из поля. В сферическом конденсаторе \(E=q/(4\pi\varepsilon_0 r^2)\), \(j=\lambda E\), объёмная плотность тепла \(jE=\lambda E^2\). Интеграл по объёму между обкладками \[ N=\int\lambda E^2\,dV=\lambda\int\mathbf{E}\cdot\mathbf{j}\,dV/\lambda =\frac{\lambda}{\varepsilon_0}\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\,dV =\frac{\lambda}{\varepsilon_0}\cdot CV^2, \] потому что электростатическая энергия \(CV^2/2=\tfrac12\int\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\,dV\), и при \(\varepsilon=1\) множитель сходится. Геометрия снова выпала.