Шар радиуса \(a\) через сопротивление \(R\) соединён с землёй. Из бесконечности на него со скоростью \(v\) налетает пучок электронов, число частиц в единице объёма которого \(n_e\). Определите предельный заряд шара. Считать скорость частиц большой (подумайте, по сравнению с какой величиной).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
«Скорость большая» значит: кулоновское отклонение траектории мало, прицельный параметр порядка \(a\) не успевает искривиться. Критерий — кинетическая энергия много больше потенциальной на поверхности, \(mv^2/2\gg e|\varphi|\). Тогда сечение захвата равно геометрическому \(\pi a^2\), и ток электронов, садящихся на шар, \[ I=e n_e v\cdot\pi a^2. \]
В стационаре этот ток целиком стекает в землю через \(R\). Потенциал шара (как уединённого проводника радиуса \(a\)) \[ \varphi=IR,\qquad q=4\pi\varepsilon_0 a\,\varphi=4\pi\varepsilon_0 a\cdot e n_e v\pi a^2 R =4\pi^2\varepsilon_0 a^3 e n_e R v. \]
Знак: электроны отрицательны, \(q<0\); в ответе обычно пишут модуль, подразумевая заряд по абсолютной величине, либо держат \(e>0\) как элементарный заряд. Мы держим формулу задачника \(q=4\pi^2\varepsilon_0 a^3 e n_e R v\).
Критерий «быстрых». \(|\varphi|=IR=e n_e v\pi a^2 R\), и \(mv^2/2\gg e|\varphi|\) даёт \[ v\gg \frac{a^2 e^2 n_e R}{m_e} \] (численные двойки и \(\pi\) в оценке опускаем — условие про «подумайте, по сравнению с какой величиной»).