Тепловая мощность спирали электроплитки линейно зависит от разности температур спирали и комнатного воздуха: \(N=\varkappa(T-T_0)\). Сопротивление спирали тоже линейно зависит от этой разности: \(R=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\), где \(R_0\) — сопротивление спирали при комнатной температуре. До какой температуры нагреется спираль при пропускании через неё тока \(I\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток \(I\) фиксирован (источник тока). Мощность в спирали \(I^2 R\), сопротивление \[ R=R_0\bigl(1+\alpha(T-T_0)\bigr). \]
Теплоотвод в воздух \(N=\varkappa(T-T_0)\). В стационаре \[ I^2 R_0\bigl(1+\alpha\theta\bigr)=\varkappa\theta,\qquad \theta=T-T_0. \]
Раскрываем: \(I^2 R_0+I^2 R_0\alpha\theta=\varkappa\theta\), \[ I^2 R_0=\theta\bigl(\varkappa-I^2 R_0\alpha\bigr)\qquad\Longrightarrow\qquad \theta=\frac{R_0 I^2}{\varkappa-I^2 R_0\alpha}, \] \[ T=T_0+\frac{R_0 I^2}{\varkappa-I^2 R_0\alpha}, \] если знаменатель положителен: \(\varkappa>I^2 R_0\alpha\).
Если \(\varkappa<I^2 R_0\alpha\), правая часть баланса \(I^2 R_0(1+\alpha\theta)\) растёт с \(\theta\) быстрее левой (теплоотвода). Стационара нет: чем горячее спираль, тем больше сопротивление, тем больше тепло при фиксированном токе, тем ещё горячее — температура убегает. (Реально расплавится или сработает предохранитель; линейные законы \(R(\theta)\) и \(N(\theta)\) тоже давно сломаются.)
Физика знаменателя: \(\varkappa\) — «жёсткость» теплоотвода, \(I^2 R_0\alpha\) — «жёсткость» положительной обратной связи «нагрев → \(R\) → ещё нагрев». Кто больше, тот и победил.