а. Требуется определить падение напряжения на сопротивлении \(R\). Для этого к концам сопротивления подключают вольтметр. Какая относительная погрешность будет допущена при измерениях, если показания вольтметра принять за то, которое имело место до его подключения? Сила тока в цепи поддерживается постоянной. Сопротивление вольтметра \(r\).
б. Для измерения тока в цепи с сопротивлением \(R\) включён амперметр. Какая относительная ошибка будет допущена, если считать, что включение амперметра не изменило тока? Напряжение на концах цепи поддерживается постоянным. Сопротивление амперметра \(r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Вольтметр. До подключения ток в цепи \(I=\text{const}\) (так сказано: силу тока поддерживают постоянной), напряжение на \(R\) есть \(V_0=IR\). После подключения вольтметра сопротивления \(r\) параллельно \(R\) эквивалент участка \[ R_{\parallel}=\frac{Rr}{R+r},\qquad V=IR_{\parallel}=IR\cdot\frac{r}{R+r}. \] Вольтметр показывает \(V\), а «настоящее» (до подключения) было \(V_0\). Относительная погрешность \[ \frac{\Delta V}{V_0}=\frac{V_0-V}{V_0}=1-\frac{r}{R+r}=\frac{R}{R+r}. \]
Чем больше \(r\) по сравнению с \(R\), тем меньше ошибка. Хороший вольтметр — высокоомный: \(r\gg R\), \(\Delta V/V_0\approx R/r\ll1\).
б. Амперметр. Напряжение на концах цепи поддерживается постоянным, \(V=\text{const}\). До включения амперметра \(I_0=V/R\). После — в цепи появилось лишнее \(r\): \[ I=\frac{V}{R+r},\qquad \frac{\Delta I}{I_0}=\frac{I_0-I}{I_0}=\frac{r}{R+r}. \]
Хороший амперметр — низкоомный: \(r\ll R\). Ошибка \(\approx r/R\).
Обратите внимание на симметрию: формулы отличаются заменой \(R\leftrightarrow r\). Вольтметр портит измерение, если он сравним с \(R\); амперметр — если он сравним с \(R\). Один должен быть «много больше», другой — «много меньше».