Батарея с ЭДС \(\mathcal{E}\) состоит из \(n\) последовательно соединённых одинаковых элементов. Как нужно заряжать конденсатор ёмкости \(C\), чтобы потери составляли наименьшую возможную долю запасённой энергии? Какова эта доля?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Батарея собрана из \(n\) одинаковых элементов ЭДС \(\varepsilon=\mathcal{E}/n\). Конденсатор нужно зарядить до полного \(\mathcal{E}=n\varepsilon\). Запасённая энергия в конце всегда
\[ U=\frac{C\mathcal{E}^2}{2}=\frac{C n^2\varepsilon^2}{2}. \]Если сразу подключить все \(n\) элементов, батарея даст \(q\mathcal{E}=C\mathcal{E}^2\), тепло равно запасу: доля потерь \(1\).
Умно поступаем так. Сначала подключаем один элемент: конденсатор заряжается от 0 до \(\varepsilon\), тепло \(C\varepsilon^2/2\). Затем два элемента: напряжение растёт от \(\varepsilon\) до \(2\varepsilon\), заряд добавляется \(C\varepsilon\), батарея даёт \(C\varepsilon\cdot 2\varepsilon=2C\varepsilon^2\), прирост поля \(C(4\varepsilon^2-\varepsilon^2)/2=3C\varepsilon^2/2\), тепло снова \(C\varepsilon^2/2\). На каждой ступени \(k\to k+1\) тепло одно и то же:
\[ W_k=\frac{C\varepsilon^2}{2}. \]Всего \(n\) ступеней, суммарное тепло \(n\cdot C\varepsilon^2/2\). Доля потерь
\[ \frac{W}{U}=\frac{n\cdot C\varepsilon^2/2}{C n^2\varepsilon^2/2}=\frac1n. \]Это наименьшая доля, которую можно выжать из \(n\) дискретных элементов: любая перестановка (сразу два, потом три, …) даёт больше тепла, потому что скачки крупнее.