Начальные ёмкость и заряд конденсатора \(C\) и \(q\). Ёмкость конденсатора начинают изменять со временем так, что ток в цепи остаётся постоянным и равным \(I\). Вычислите мощность, потребляемую от генератора, и сравните её с мощностью, поглощаемой конденсатором. Почему сравниваемые величины различны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток постоянный: \(\dot q=I=\mathrm{const}\), в момент, когда заряд ещё равен начальному \(q\), а ёмкость — начальной \(C\), напряжение \(V=q/C\). Мощность, которую отдаёт генератор,
\[ N_{\text{ген}}=IV=\frac{Iq}{C}. \]Энергия поля \(U=q^2/(2C)\). Её производная
\[ N_C=\dot U=\frac{q\dot q}{C}-\frac{q^2}{2C^2}\dot C=\frac{Iq}{C}-\frac{q^2}{2C^2}\dot C. \]Чтобы ток оставался постоянным, ёмкость нужно менять по вполне определённому закону (пластины раздвигают или сдвигают). В тот момент, который имеет в виду задача, второе слагаемое как раз равно \(Iq/(2C)\), и
\[ N_C=\frac{Iq}{2C}. \]Генератор отдаёт вдвое больше, чем поглощает конденсатор. Куда делась разница? Тот, кто двигает пластины, либо совершает работу, либо её получает — в зависимости от знака \(\dot C\). Баланс
\[ N_{\text{ген}}=N_C+N_{\text{мех}},\qquad N_{\text{мех}}=\frac{Iq}{2C}. \]Это общее правило: у конденсатора с переменной ёмкостью «электрическая» и «механическая» мощности связаны, и смотреть только на \(IV\) недостаточно.