В цепи течёт постоянный ток. Ключ размыкают. Через какое время заряд на конденсаторе изменится на 1/1000 первоначальной величины?
К задаче 8.4.12. Пока ключ замкнут, идёт постоянный ток; размыкают — заряд на C сползает.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
После размыкания ключа конденсатор остаётся один на один с резистором и разряжается по экспоненте. Изменение заряда на одну тысячную — это очень маленький кусок экспоненты, и \(1-e^{-x}\approx x\).
До размыкания в цепи шёл постоянный ток, конденсатор был заряжен до некоторого \(q_0=CV\) (напряжение узла). Ключ разомкнули — батарея отключилась, конденсатор разряжается через сопротивление \(R\):
\[ q(t)=q_0\,e^{-t/RC}. \]
Нужно, чтобы заряд изменился на \(1/1000\) первоначальной величины, то есть
Показатель мал, \(e^{-x}\approx1-x\), поэтому \(t/RC\approx10^{-3}\),
\[ \tau\approx10^{-3}RC. \]
Если бы имелся в виду заряд до \(q_0/1000\) (почти полный разряд), время было бы \(t=RC\ln1000\approx7RC\). Слова «изменится на \(1/1000\)» означают именно малую добавку, а не падение в тысячу раз.
Проверка. Точный корень \(t=-RC\ln(0{,}999)\approx1{,}0005\cdot10^{-3}RC\) — поправка на 0,05 %, для школьной задачи неразличима. Размерность: \(RC\) — секунды. Чем больше ёмкость и сопротивление, тем медленнее «сползает» заряд, тем дольше ждать тысячной доли.