Ключ замыкают поочерёдно с каждым из контактов на очень малые одинаковые промежутки времени. Изменение заряда конденсатора, происходящее за время каждого включения, очень мало. Какой заряд окажется на конденсаторе после большого числа переключений? Определите заряд конденсатора в случае, когда время, в течение которого замкнута первая цепь, в \(k\) раз меньше времени, в течение которого замкнута вторая цепь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Цепь 1: батарея \(\mathcal{E}_1\) через \(R_1\); цепь 2: \(\mathcal{E}_2\) через \(R_2\). Напряжение на конденсаторе \(V=q/C\) за один такт почти постоянно. За время \(\tau\) подключения к первой цепи заряд меняется на
\[ \Delta q_1=\frac{\mathcal{E}_1-V}{R_1}\tau, \]за такое же время во второй цепи —
\[ \Delta q_2=\frac{\mathcal{E}_2-V}{R_2}\tau. \]В установившемся режиме за полный цикл заряд не растёт: \(\Delta q_1+\Delta q_2=0\), то есть
\[ \frac{\mathcal{E}_1-V}{R_1}=\frac{V-\mathcal{E}_2}{R_2}\qquad\Longrightarrow\qquad V=\frac{\mathcal{E}_1 R_2+\mathcal{E}_2 R_1}{R_1+R_2},\qquad q=CV. \]Это то же напряжение, что на резистивном делителе из \(R_1\) и \(R_2\) между двумя батареями — ключ «в среднем» просто соединяет обе цепи.
Если первая цепь замкнута в \(k\) раз короче второй (времена \(\tau\) и \(k\tau\)), в балансе появляется вес \(k\):
\[ \frac{\mathcal{E}_1-V}{R_1}\tau+\frac{\mathcal{E}_2-V}{R_2}k\tau=0\qquad\Longrightarrow\qquad q=C\frac{\mathcal{E}_1 R_2+k\mathcal{E}_2 R_1}{k R_1+R_2}. \]