Конденсатор ёмкости \(C\), заряженный до напряжения \(V_0\), после замыкания ключа разряжается через сопротивление \(R\). Как связана скорость изменения напряжения на конденсаторе \(dV/dt\) с напряжением на нём? Чему равны напряжение на конденсаторе и ток в цепи через время \(\tau\) после замыкания ключа?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На конденсаторе напряжение \(V(t)\), заряд \(q=CV\). Ток, вытекающий из конденсатора в резистор,
\[ I=-\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=-C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}. \]На резисторе тот же ток равен \(V/R\). Значит
\[ -C\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=\frac{V}{R}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=-\frac{V}{RC}. \]Скорость падения напряжения пропорциональна самому напряжению — фирменный признак экспоненты: за каждый малый шаг \(\Delta t\) напряжение теряет одну и ту же долю себя, \(\Delta V/V=-\Delta t/(RC)\), то есть за равные промежутки времени убывает в одинаковое число раз — как число ядер при радиоактивном распаде. Поэтому
\[ V(t)=V_0\exp\Bigl(-\frac{t}{RC}\Bigr) \](подстановкой легко убедиться, что скорость изменения этой функции — в точности \(-V/RC\)).
Через время \(\tau\) после замыкания
\[ V=V_0 e^{-\tau/RC},\qquad I=\frac{V}{R}=\frac{V_0}{R}e^{-\tau/RC}. \]