Савченко · Глава 8. Электрический ток · § 8.4. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях

Савченко, задача 8.4.17

Задача 8.4.17релаксационный генератор

Условие

Как зависит частота генератора, изображённого на рисунке, от напряжения \(V\)? Неоновая лампа загорается при напряжении \(V_1\) и гаснет при напряжении \(V_0<V_1\). Сопротивлением горящей лампы пренебречь.

К задаче 8.4.17. Релаксационный генератор: зарядка через R до V1, вспышка неона до V₀.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Это релаксационный генератор: конденсатор медленно заряжается через \(R\) от \(V_0\) до \(V_1\), лампа вспыхивает и мгновенно разряжает его обратно до \(V_0\). Период равен времени зарядки, разрядом можно пренебречь.

Неоновая лампа зажигается при \(V_1\) и гаснет при \(V_0<V_1\). Сопротивление горящей лампы нуль — разряд мгновенный. Между вспышками лампа закрыта, конденсатор заряжается от батареи \(V\) через \(R\):

\[ V_C(t)=V-\bigl(V-V_0\bigr)e^{-t/RC}. \]

Зажигание — когда \(V_C=V_1\):

\[ V-\bigl(V-V_0\bigr)e^{-t/RC}=V_1\qquad\Longrightarrow\qquad e^{-t/RC}=\frac{V-V_1}{V-V_0}, \] \[ t=RC\ln\frac{V-V_0}{V-V_1}. \]

Это и есть период (разряд нулевой длительности). Частота

\[ \nu=\Biggl(RC\ln\frac{V-V_0}{V-V_1}\Biggr)^{-1}. \]

Чем ближе \(V\) к \(V_1\), тем дольше конденсатор доползает до порога, тем ниже частота. Чем больше \(V\), тем круче зарядка, тем чаще вспышки. При \(V\le V_1\) лампа не зажигается вовсе, генерации нет.

Проверка. При \(V\to V_1+\) логарифм стремится к бесконечности, \(\nu\to0\). При \(V\gg V_1\) имеем \(\ln[(V-V_0)/(V-V_1)]\approx(V_1-V_0)/V\), частота \(\nu\approx V/(RC(V_1-V_0))\) растёт линейно с напряжением. Размерность: \(1/(RC)\) — герцы.

Ответ\(\nu=\bigl(RC\ln[(V-V_0)/(V-V_1)]\bigr)^{-1}\).

Следующая задача 8.4.18 →