а. Между пластинами конденсатора с постоянной скоростью \(v\) движется равномерно заряженная тонкая пластина, заряд которой \(q\). Определите ток в цепи, если конденсатор замкнут накоротко, а расстояние между пластинами \(d\).
б. Изменится ли результат, если внутри конденсатора перпендикулярно пластинам со скоростью \(v\) движется точечная частица с зарядом \(q\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Пластина. Конденсатор замкнут накоротко, обе обкладки при нулевом потенциале. Тонкая пластина заряда \(q\) находится на расстоянии \(x\) от нижней обкладки, зазор \(d\). Наведённые заряды (метод изображений / теорема Гаусса для двух плоскостей)
\[ q_{\text{н}}=-\,q\frac{d-x}{d},\qquad q_{\text{в}}=-\,q\frac{x}{d}. \]Сумма \(q_{\text{н}}+q_{\text{в}}=-q\): весь заряд экранирован. Пластина едет с постоянной скоростью \(v=\dot x\). Ток в перемычке — скорость изменения заряда верхней обкладки:
\[ I=\dot q_{\text{в}}=-\frac{q}{d}\dot x=-\frac{qv}{d}. \]Модуль \(I=qv/d\). Знак: если \(q>0\) и пластина едет вверх, верхняя обкладка набирает отрицательный заряд, ток в перемычке течёт к ней.
б. Точечный заряд. Для двух бесконечных эквипотенциальных плоскостей наведённый заряд на каждой зависит только от поперечной координаты \(x\) и равен тем же \(-q x/d\), \(-q(d-x)/d\). Это можно увидеть из того, что потенциал точечного заряда между плоскостями раскладывается по собственным функциям, а интеграл индукции по обкладке даёт именно линейный закон. Значит, ток тот же, \(I=qv/d\). Результат не меняется.