Между обкладками плоского конденсатора, размеры которых \(a\times a\), находится плоская пластина такого же размера, заполняющая весь объём между ними. Диэлектрическая проницаемость пластины \(\varepsilon\), её толщина \(d\). Между обкладками поддерживается постоянное напряжение \(\mathcal{E}\). Какой ток идёт в цепи конденсатора, если пластину с постоянной скоростью \(v\), направленной вдоль одной из сторон обкладок, вынимают из конденсатора?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обкладки \(a\times a\), зазор заполнен пластиной толщины \(d\) с проницаемостью \(\varepsilon\). Напряжение поддерживается равным \(\mathcal{E}\). Пластину вынимают со скоростью \(v\) вдоль стороны. В момент, когда внутри ещё осталась полоса ширины \(x\), а воздух занял \(a-x\), ёмкость — сумма двух «полуконденсаторов»:
\[ C=\varepsilon\varepsilon_0\frac{a x}{d}+\varepsilon_0\frac{a(a-x)}{d} =\frac{\varepsilon_0 a}{d}\bigl[a+(\varepsilon-1)x\bigr]. \]Заряд \(q=C\mathcal{E}\). Ток в подводящих проводах
\[ I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\mathcal{E}\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}t} =\mathcal{E}\cdot\frac{\varepsilon_0 a}{d}(\varepsilon-1)\dot x. \]Вынимаем, \(\dot x=-v\), модуль тока
\[ I=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\frac{\mathcal{E} a v}{d}. \]Пока пластина не вышла полностью, ток постоянен: \(C\) падает линейно со временем.