При положительном напряжении \(V\) на диоде ток через диод \(I=\alpha V^2\); при отрицательном напряжении ток через него равен нулю. Найдите ток в цепи, если этот диод через сопротивление \(R\) подключён к батарее с ЭДС \(\mathcal{E}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Диод включён в прямом направлении через резистор \(R\) к батарее \(\mathcal{E}\). На диоде напряжение \(V>0\), ток \(I=\alpha V^2\). Второй закон Кирхгофа:
\[ \mathcal{E}=IR+V\qquad\Longrightarrow\qquad V=\mathcal{E}-IR. \]Подставляем в характеристику:
\[ I=\alpha(\mathcal{E}-IR)^2. \]Раскрываем: \(\alpha(\mathcal{E}^2-2\mathcal{E}RI+R^2 I^2)=I\), или
\[ \alpha R^2 I^2-I(1+2\alpha R\mathcal{E})+\alpha\mathcal{E}^2=0. \]Это квадратное относительно \(I\). Дискриминант удобно записать, выделив полный квадрат вокруг \(1/(2\alpha R^2)+\mathcal{E}/R\). Физический корень — меньший (большой корень отвечает \(V<0\), где характеристика уже другая):
\[ I=\frac{1}{2\alpha R^2}+\frac{\mathcal{E}}{R} -\sqrt{\Bigl(\frac{1}{2\alpha R^2}+\frac{\mathcal{E}}{R}\Bigr)^2-\frac{\mathcal{E}^2}{R^2}}. \]Если батарея включена наоборот, \(V<0\), ток диода нуль, ток цепи нуль.