Для измерения напряжения применяются вольтметры двух типов: электромагнитные, измеряющие напряжение по току, проходящему через рамку прибора, и электростатические, грубая схема которых дана на рисунке. Через изолирующую пробку к двум параллельным пластинам подходит провод. Пластины удерживаются на месте пружиной жёсткости \(k\). Потенциал проводящей коробочки \(\varφ_B\). Определите потенциал \(\varφ_A\), если растяжение пружины равно \(x\). В нерастянутом состоянии пружины расстояние от пластин до стенок коробочки \(l\); площадь пластин \(S\gg l^2,x^2\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обе подвижные пластины соединены с проводом \(A\) и имеют потенциал \(\varφ_A\). Коробочка — эквипотенциаль \(\varφ_B\). В нерастянутом состоянии зазор от каждой пластины до ближайшей стенки равен \(l\). Когда пружина растянулась на \(x\), пластины разошлись симметрично, и каждый зазор стал
\[ g=l-\frac{x}{2}. \]Поле в зазоре однородно (края не играют: \(S\gg l^2,x^2\)):
\[ E=\frac{\varφ_A-\varφ_B}{g}. \]Сила притяжения одной пластины к стенке — это давление поля, умноженное на площадь:
\[ F=\frac{\varepsilon_0 E^2}{2}S=\frac{\varepsilon_0 S(\Delta\varphi)^2}{2g^2}. \]Растянутая на \(x\) пружина тянет каждую из пластин к середине с силой \(kx\) (натяжение одинаково по всей длине пружины). Равновесие одной пластины: \(kx=F\), откуда
\[ kx=\frac{\varepsilon_0 S(\Delta\varphi)^2}{2g^2}\qquad\Longrightarrow\qquad \Delta\varphi=g\sqrt{\frac{2kx}{\varepsilon_0 S}}=\Bigl(l-\frac x2\Bigr)\sqrt{\frac{2kx}{\varepsilon_0 S}}. \]Значит \(\varφ_A=\varφ_B+(l-x/2)\sqrt{2kx/(\varepsilon_0 S)}\) (знак — какой из потенциалов больше; по модулю так).
В «Ответах» книги перед скобкой стоит множитель 2: \(\varφ_A=\varφ_B+2(l-x/2)\sqrt{kx/(\varepsilon_0 S)}\). Это в \(\sqrt2\) раз больше, чем даёт баланс сил \(kx=\varepsilon_0 S(\Delta\varphi)^2/(2g^2)\); по-видимому, при выносе двойки из-под корня потерялся сам корень — верный коэффициент \(\sqrt2\), а не 2.