Савченко · Глава 8. Электрический ток · § 8.4. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях

Савченко, задача 8.4.5

Задача 8.4.5тепло на двух R после ключа

Условие

Найдите количество теплоты, выделившейся на каждом сопротивлении после замыкания ключа. Один конденсатор вначале был заряжен до напряжения \(V\), а второй не был заряжен.

К задаче 8.4.5. После замыкания ключа заряд перетекает через R₁ и R₂.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Конечное состояние известно из сохранения заряда и равенства напряжений: ёмкости одинаковы — заряд поделится поровну. Убыль энергии поля уйдёт в тепло. Ток один и тот же через оба резистора, тепло делится пропорционально \(R\).

Два одинаковых конденсатора ёмкости \(C\) соединены через \(R_1\) и \(R_2\) в последовательную цепь. Вначале на одном напряжение \(V\), заряд \(q_0=CV\), энергия \(CV^2/2\); второй пуст.

После замыкания ключа заряд перетекает, пока напряжения не сравняются. Суммарный заряд сохраняется (внешней цепи нет): \(q_1+q_2=CV\). Ёмкости равны, значит в конце \(q_1=q_2=CV/2\), энергия

\[ U_{\text{кон}}=2\cdot\frac{(CV/2)^2}{2C}=\frac{CV^2}{4}. \]

В тепло ушло

\[ W=U_{\text{нач}}-U_{\text{кон}}=\frac{CV^2}{2}-\frac{CV^2}{4}=\frac{CV^2}{4}. \]

Через оба резистора в каждый момент течёт один и тот же ток \(I(t)\) (последовательная цепь). Тепло на каждом

\[ W_i=\int I^2 R_i\,\mathrm{d}t=R_i\int I^2\,\mathrm{d}t, \]

поэтому \(W_1/W_2=R_1/R_2\) и \(W_1+W_2=CV^2/4\). Итого

\[ W_1=\frac{CV^2}{4}\frac{R_1}{R_1+R_2},\qquad W_2=\frac{CV^2}{4}\frac{R_2}{R_1+R_2}. \]

Проверка. Если \(R_2=0\), всё тепло на \(R_1\), \(W_1=CV^2/4\) — классический результат соединения конденсаторов. Если \(R_1=R_2\), тепло поровну. От абсолютных значений \(R\) ответ не зависит: при больших \(R\) процесс дольше, ток меньше, интеграл \(I^2 R\) тот же. Энергия не зависит от того, как именно менялся ток во времени.

Ответ\(W_{1,2}=(CV^2/4)\,R_{1,2}/(R_1+R_2)\).

Следующая задача 8.4.6 →