Найдите количество теплоты, выделившейся на сопротивлении, если при поочерёдном изменении ёмкости конденсаторов от \(C\) до \(C/2\) затрачивается работа \(A\). Первоначальный заряд каждого конденсатора \(q\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два конденсатора, каждый с зарядом \(q\) и ёмкостью \(C\). Начальная энергия поля
\[ U_0=2\cdot\frac{q^2}{2C}=\frac{q^2}{C}. \]Ёмкости поочерёдно уменьшают от \(C\) до \(C/2\). При изменении одной ёмкости заряды перетекают через \(R\), и на нём выделяется тепло. В конце обе ёмкости равны \(C/2\), суммарный заряд системы по-прежнему \(2q\) (деваться некуда). Эквивалентная ёмкость двух конденсаторов зависит от схемы; если они остаются «каждый со своим зарядом, перераспределяя через \(R\)», конечная энергия при ёмкостях \(C/2\) и полном заряде \(2q\)
\[ U=2\cdot\frac{q^2}{2\cdot(C/2)}=\frac{2q^2}{C}. \]Прирост поля \(\Delta U=q^2/C\). Работа внешних сил \(A\) пошла на этот прирост и на тепло:
\[ A=\Delta U+W\qquad\Longrightarrow\qquad W=A-\frac{q^2}{C}. \]Знак: раздвигая пластины заряженного конденсатора, мы работаем против притяжения пластин, поле усиливается (\(U=q^2/(2C)\) растёт при уменьшении \(C\)). Тепло — «утечка» этого усиления через сопротивление.