Савченко · Глава 8. Электрический ток · § 8.4. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях

Савченко, задача 8.4.8

Задача 8.4.8диод и незаряженный C

Условие

Диод имеет вольт-амперную характеристику, изображённую на рисунке. При напряжении \(V_0\) диод открывается. Конденсатор вначале не заряжен. Какое количество теплоты выделится на сопротивлении после замыкания ключа?

К задаче 8.4.8. Диод открывается при V₀; конденсатор вначале пуст.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Диод — ключ с порогом \(V_0\): ток идёт, только пока напряжение на нём больше \(V_0\). Конденсатор заряжается, пока этот запас не кончится. Эффективная ЭДС зарядки равна \(\mathcal{E}-V_0\), тепло на \(R\) — как при обычной зарядке до этого напряжения.

Конденсатор вначале пуст. Ключ замкнули. Если \(\mathcal{E}<V_0\), диод закрыт с самого начала, тока нет, тепло нуль.

Если \(\mathcal{E}>V_0\), диод открыт. Пока он открыт, на нём висит порог \(V_0\), и на резисторе с конденсатором остаётся \(\mathcal{E}-V_0-V_C\). Конденсатор заряжается, пока \(V_C\) не дорастёт до \(\mathcal{E}-V_0\): тогда напряжение на диоде упадёт до порога, ток прекратится. Конечный заряд \(q=C(\mathcal{E}-V_0)\).

Батарея отдала \(q\mathcal{E}=C(\mathcal{E}-V_0)\mathcal{E}\). Конденсатор запас \(C(\mathcal{E}-V_0)^2/2\). На диоде (пороговое падение) ушло \(qV_0=C(\mathcal{E}-V_0)V_0\). На резисторе остаётся

\[ W=C(\mathcal{E}-V_0)\mathcal{E}-\frac{C(\mathcal{E}-V_0)^2}{2}-C(\mathcal{E}-V_0)V_0 =\frac12 C(\mathcal{E}-V_0)^2. \]

Ровно как при зарядке конденсатора от батареи \(\mathcal{E}-V_0\). Если диод идеальный (порог без внутренних потерь сверх \(V_0\)), всё это тепло действительно на \(R\).

Проверка. При \(V_0=0\) (идеальный диод без порога) \(W=C\mathcal{E}^2/2\) — обычная зарядка. При \(\mathcal{E}=V_0\) тепло нуль: диод едва открылся и сразу закрылся. При \(\mathcal{E}<V_0\) тока нет — согласовано.

Ответ\(W=C(\mathcal{E}-V_0)^2/2\) при \(\mathcal{E}>V_0\); \(W=0\) при \(\mathcal{E}<V_0\).

Следующая задача 8.4.9 →