Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Конь за 2023 хода
Шахматный конь ходит «буквой гэ» (см. рисунок). Пусть у нас есть бесконечная шахматная доска, на которой находится один конь. Возможен ли такой путь коня, чтобы через 2023 хода он оказался на исходном поле? Если да, указать этот путь (или алгоритм его построения), если нет, доказать, что такого пути не существует.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКакого цвета клетку меняет конь при одном ходе? Как меняется цвет после нечётного и после чётного числа ходов?
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветНет, такого пути не существует.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИз рисунка видно, что при каждом ходе конь меняет цвет клетки, с которой он начинает ход. Поэтому по итогам каждого нечётного хода (1-го, 3-го, 5-го и т.д.) конь оказывается на клетке другого цвета по сравнению с той, с которой он начал движение. А по итогам чётных ходов (2-го, 4-го, 6-го и т.д.) — на клетке того же цвета. Поскольку число 2023 нечётное, то по итогам 2023 ходов (как бы их конь ни делал) он окажется на клетке другого цвета по сравнению с той, с которой он начал движение. Следовательно, он не может попасть на исходную клетку шахматной доски независимо от того, по какому пути он пойдёт.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Комплекты инструментов
В мастерскую закупили много одинаковых комплектов инструментов. Каждый комплект состоит из отвертки, гаечного ключа и плоскогубцев. Все инструменты свалили в ящик и поручили одному из работников их взвесить. Он брал, не глядя, каждый раз по три предмета, клал на весы и записывал их показания. Оказалось, что весы всё время показывали какое-то одно из следующих значений: 600 г, 670 г, 740 г, или 810 г, а вся масса приборов в сумме составила 13,4 кг. Сколько в ящике было плоскогубцев, если известно, что их масса больше, чем у отвертки, а масса гаечного ключа такая же, как у отвертки?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКакие суммы масс трёх предметов вообще возможны, если масса ключа равна массе отвёртки? Сколько предметов каждого вида может быть в тройке?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ20.