Росатом, 2023/24, отборочный этап, 7 класс

Какое расстояние должен пройти первый кубик, чтобы сотый коснулся стенки? Что происходит с промежутками между кубиками к этому моменту?

\(t = \dfrac{140a}{v}\).

В начальный момент между ближайшей к стенке гранью первого кубика находятся 99 промежутков \(1{,}4a\) между кубиками, один промежуток \(1{,}4a\) между сотым кубиком и стенкой и 99 кубиков шириной \(a\). Когда сотый кубик коснётся стенки, все промежутки между кубиками пропадут, и между первым кубиком и стенкой останутся 99 кубиков шириной \(a\). Значит, первый кубик должен пройти расстояние \(100 \cdot 1{,}4a = 140a\). Так как он движется с постоянной скоростью \(v\), это произойдёт через время \[t = \frac{140a}{v}\] после начала движения.

Какого цвета клетку меняет конь при одном ходе? Как меняется цвет после нечётного и после чётного числа ходов?

Нет, такого пути не существует.

Из рисунка видно, что при каждом ходе конь меняет цвет клетки, с которой он начинает ход. Поэтому по итогам каждого нечётного хода (1-го, 3-го, 5-го и т.д.) конь оказывается на клетке другого цвета по сравнению с той, с которой он начал движение. А по итогам чётных ходов (2-го, 4-го, 6-го и т.д.) — на клетке того же цвета. Поскольку число 2023 нечётное, то по итогам 2023 ходов (как бы их конь ни делал) он окажется на клетке другого цвета по сравнению с той, с которой он начал движение. Следовательно, он не может попасть на исходную клетку шахматной доски независимо от того, по какому пути он пойдёт.

Пусть скорость автомобиля на третьей трети пути равна \(V_3\), длина каждой трети — \(S\). Тогда время, которое автомобиль затратил на весь путь, равно \[t = \frac{S}{V_1} + \frac{S}{V_2} + \frac{S}{V_3}.\] На движение по второй трети пути автомобиль затратил время \(t_2 = \dfrac{S}{V_2}\). Поэтому из условия задачи получаем уравнение \[\frac{S}{V_2} = \frac{1}{3}\left(\frac{S}{V_1} + \frac{S}{V_2} + \frac{S}{V_3}\right).\] Решая это уравнение, получим \[V_3 = \frac{V_1 V_2}{2V_1 - V_2}.\] При этом для скоростей \(V_1\) и \(V_2\) должно выполняться условие \(2V_1 > V_2\) (при его невыполнении автомобиль не сможет затратить на прохождение второй трети пути треть всего времени даже при бесконечной скорости \(V_3\)).

Введите скорость машины, скорость пешком и расстояние от дома до работы. Сколько времени уходит на каждый из двух путей туда и обратно?

\(t_1 = \dfrac{7t}{4}\).

Пусть скорость Михаила Валерьевича на машине равна \(v_1\), пешком — \(v_2\), расстояние от дома до работы — \(S\). Тогда для времени, затраченного на всю дорогу в первом случае (туда пешком, обратно на машине), имеем \[t = \frac{S}{v_2} + \frac{S}{v_1}.\] Когда же и туда, и обратно Михаил Валерьевич едет на машине, он затрачивает на дорогу время \[\frac{t}{4} = \frac{2S}{v_1}.\] Из этой системы уравнений находим \[\frac{S}{v_2} = \frac{7t}{8}.\] Поэтому, если Михаил Валерьевич и из дома на работу, и с работы домой пойдёт пешком, он затратит на дорогу время \[t_1 = \frac{2S}{v_2} = \frac{7t}{4}.\]

Запишите массу куска как сумму масс гранита и золота, а объём — как сумму их объёмов.

\(m_{\text{зол}} = \dfrac{m\,\rho_{\text{зол}}(\rho-\rho_{\text{гр}})}{\rho(\rho_{\text{зол}}-\rho_{\text{гр}})} = 65{,}5\) г.

Пусть масса самородка равна \(m_{\text{зол}}\), масса гранита — \(m_{\text{гр}}\). Тогда для массы и объёма куска гранита с самородком выполнены условия \[m = m_{\text{зол}} + m_{\text{гр}}, \qquad V = \frac{m_{\text{зол}}}{\rho_{\text{зол}}} + \frac{m_{\text{гр}}}{\rho_{\text{гр}}},\] где \(V\) — объём куска гранита с золотым самородком. В результате для плотности куска \[\rho = \frac{m}{V} = \frac{m\,\rho_{\text{зол}}\rho_{\text{гр}}} {m\rho_{\text{зол}} - m_{\text{зол}}(\rho_{\text{зол}} - \rho_{\text{гр}})}.\] Решая это уравнение относительно массы золотого самородка, получим \[m_{\text{зол}} = \frac{m\,\rho_{\text{зол}}(\rho - \rho_{\text{гр}})}{\rho(\rho_{\text{зол}} - \rho_{\text{гр}})} = 65{,}5~\text{г}.\]