Цилиндр в поле и три заземляемых проводника

Какими свойствами обладает проводник в электростатическом поле? Для системы проводников запишите потенциалы через заряды и коэффициенты, учитывающие симметрию расположения.

Вопрос. Любое проводящее тело в электростатическом поле — эквипотенциальная область, так как благодаря явлению электростатической индукции поле внутри проводника отсутствует. Поэтому разность потенциалов между основаниями цилиндров (как и между любыми двумя точками цилиндра) равна нулю.

Задача. Так как положение цилиндров и среда между ними не изменяются, то при любых их зарядах \[\begin{cases} \varphi_1=k_{11}Q_1+k_{12}Q_2+k_{13}Q_3\\ \varphi_2=k_{21}Q_1+k_{22}Q_2+k_{23}Q_3\\ \varphi_3=k_{31}Q_1+k_{32}Q_2+k_{33}Q_3 \end{cases}\] и в силу симметрии системы \(k_{11}=k_{22}=k_{33}\equiv\alpha\), \(k_{12}=k_{21}=k_{23}=k_{32}=k_{13}=k_{31}\equiv\beta\). Поэтому вначале, когда \(Q_1=Q_2\equiv Q\) и \(Q_3=0\), потенциалы цилиндров \(\varphi_1=\varphi_2=\alpha Q+\beta Q\), \(\varphi_3=2\beta Q\), и \(U=(\alpha-\beta)Q\).

После первого заземления потенциал цилиндра 3 становится равным нулю (меняется только заряд цилиндра, соединённого с землёй): \(\varphi_3'=\alpha Q_3'+2\beta Q=0\), и поэтому \(Q_3'=-\dfrac{2\beta}{\alpha}Q\). Значит, теперь \(\varphi_1'=\varphi_2'=(\alpha+\beta)Q+\beta Q_3'=\dfrac{(\alpha-\beta)(\alpha+2\beta)}{\alpha}Q\) и \(U'=\dfrac{\alpha+2\beta}{\alpha}U\). Мы получили, что \(\dfrac\beta\alpha=\dfrac{U'-U}{2U}\).

После второго заземления \(\varphi_2''=\beta Q+\alpha Q_2''+\beta Q_3'=0\), откуда заряд второго цилиндра: \(Q_2''=-\dfrac\beta\alpha(Q_3'+Q)=-\dfrac\beta\alpha\left(1-\dfrac{2\beta}{\alpha}\right)Q\). Новые потенциалы цилиндров 1 и 3 изменяются только из-за одинакового для них изменения вклада второго цилиндра, так что показания вольтметра не меняются (\(U''=U'\)).

Повторяя аналогичные действия для третьего заземления, найдём \(\varphi_1'''=\alpha Q_1'''+\beta Q_2''+\beta Q_3'=0\), откуда \(Q_1'''=-\dfrac\beta\alpha\left(Q_3'+Q_2''\right)=\dfrac{\beta^2}{\alpha^2}\left(3-\dfrac{2\beta}{\alpha}\right)Q\). Показания вольтметра \[U'''=0-\varphi_3'''=-\alpha Q_3'-\beta\left(Q_2''+Q_1'''\right)=\frac{\beta(\alpha-\beta)(2\alpha-\beta)(\alpha+2\beta)}{\alpha^3}Q.\] Используя соотношения \(U'=\dfrac{(\alpha-\beta)(\alpha+2\beta)}{\alpha}Q\) и \(\dfrac\beta\alpha=\dfrac{U'-U}{2U}\), получаем \[U'''=\frac{U'(U'-U)(5U-U')}{4U^2}=26{,}25~\text{В}.\]