Жёсткий стержень и шарики на направляющих

Проекции скоростей концов стержня на его направление совпадают. Для движения системы составьте закон сохранения энергии и выразите кинетическую энергию через скорость нижнего шарика.

Вопрос. Проекции скоростей всех точек стержня на ось, направленную вдоль него, должны совпадать: \(v_A\cos\alpha_A=v_B\cos\alpha_B\), откуда \(\cos\alpha_B=\dfrac{v_A}{v_B}\cos\alpha_A=\dfrac12\). Значит, скорость другого конца стержня направлена под углом \(60^\circ\) к стержню.

Задача. Рассмотрим момент, когда длинный стержень направлен под углом \(\alpha\) к горизонту, и обозначим скорость нижнего шарика в этот момент \(v\). По рассуждению, аналогичному ответу на вопрос, величина скорости верхнего шарика в этот момент равна \(v'=v\,\mathrm{ctg}\,\alpha\). Средний шарик движется по окружности радиуса \(\dfrac L2\), и его скорость всегда перпендикулярна короткому стержню, то есть направлена под углом \(\beta=2\alpha-90^\circ\) к длинному стержню. Поэтому величина этой скорости \(v''=\dfrac{v\cos\alpha}{\sin 2\alpha}=\dfrac{v}{2\sin\alpha}\).

Используя эти соотношения, выразим кинетическую энергию всей системы через скорость нижнего шарика (\(m\) — масса каждого из шариков): \[E_K=\frac m2\left(v^2+v'^2+v''^2\right)=\frac{5mv^2}{8\sin^2\alpha}.\] Эта энергия появилась благодаря убыли потенциальной энергии системы в поле тяжести Земли: \(E_K=-\Delta E_g=\dfrac{3mgL}{2}\left[1-\sin\alpha\right]\). Поэтому \[v^2=\frac{12}{5}\,gL\sin^2\alpha\,[1-\sin\alpha],\] то есть скорость нижнего шарика в нужный момент времени \(v=2\sin\alpha\cdot\sqrt{\dfrac35\,gL[1-\sin\alpha]}\approx1{,}4\) м/с.

Для вычисления ускорения можно воспользоваться тем, что \(a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac12\dfrac{d(v^2)}{dx}=-\dfrac{1}{2L\sin\alpha}\dfrac{d(v^2)}{d\alpha}\). Здесь использовано, что \(d(v^2)=2v\,dv\) и \(v\,dt=dx=d[L\cos\alpha]=-L\sin\alpha\,d\alpha\). Таким образом, \[a=\frac65\,g\cos\alpha\,[3\sin\alpha-2]\approx3{,}6~\text{м/с}^2.\]