Оптическая сила линзы и прямое изображение

Для прямого изображения подумайте, какая линза его даёт при разном расстоянии от предмета, и запишите формулу линзы с учётом знаков расстояний.

Вопрос. Оптической силой линзы называют величину, обратную фокусному расстоянию: \(D=\dfrac1F\); единица измерения — диоптрия (1 дптр \(=1\) м\(^{-1}\)). Для собирающей линзы фокус действительный, а фокусное расстояние и оптическая сила положительны; для рассеивающей линзы фокус мнимый, и они отрицательны. В приближении тонкой линзы \(D=(n-1)\left(\dfrac1{R_1}+\dfrac1{R_2}\right)\), где \(n\) — показатель преломления вещества линзы относительно окружающей среды, а радиусы \(R_{1,2}\) положительны для выпуклой поверхности и отрицательны для вогнутой. Формула линзы связывает расстояние от предмета \(a\) и до изображения \(b\): \(\dfrac1a+\dfrac1b=D=\dfrac1F\); здесь \(a\) и \(b\) положительны для действительных источников и изображений и отрицательны для мнимых.

Задача. Прямые изображения предметов (светящиеся точки которых являются действительными источниками для линзы) создают рассеивающие линзы (при любом расстоянии от предмета до линзы) и собирающие линзы (когда расстояние от предмета до линзы меньше её фокусного расстояния). В обоих случаях изображение мнимое, то есть располагается по одну сторону от линзы с предметом. Пусть \(a\) — расстояние от предмета до линзы, а \(b=-|b|\) — расстояние от линзы до мнимого изображения.

Для рассеивающей линзы оптическая сила отрицательна, а изображение находится ближе к линзе, чем предмет. Поэтому \(a=|F|+d\), а \(|b|=|F|-d\). Согласно формуле линзы \[\frac{1}{|F|+d}-\frac{1}{|F|-d}=-\frac{1}{|F|},\] откуда \(|F|^2-2d|F|-d^2=0\). Выбирая положительный корень, находим \(F=-(\sqrt2+1)\,d\).

Аналогично для собирающей линзы (мнимое изображение находится дальше от линзы, чем предмет): \(a=F-d\), а \(|b|=F+d\), и получаем уравнение \(F^2-2dF-d^2=0\), положительный корень которого снова \(F=(\sqrt2+1)\,d\).

Значит, возможные значения оптической силы линзы \[D=\frac1F=\pm\frac{\sqrt2-1}{d}\approx\pm2{,}76~\text{дптр}.\]