Кинематика поршня

Давления по обе стороны лёгкого поршня одинаковы. Запишите первое начало термодинамики для каждого отсека за малое время и исключите температуры через уравнение Менделеева–Клапейрона; сумма и разность полученных уравнений связывают \(\Delta p\) и \(\Delta V\) с мощностями.

1. По условию поршень легкий и перемещается в сосуде без трения. Следовательно, в любой момент времени давление газа по обе стороны от поршня одинаково. Для объёмов отсеков \(V_1\) и \(V_2\) справедливо равенство \(V_1 + V_2 = 2V_0\), где \(V_0\) — начальный объём отсека. Рассмотрим процесс, происходящий с газом за малый промежуток времени \(\Delta t\), и запишем первое начало термодинамики для каждого отсека: \[\begin{cases} q_1\Delta t = \frac32\nu_1R\Delta T_1 + p\Delta V,\\ -q_2\Delta t = \frac32\nu_2R\Delta T_2 - p\Delta V. \end{cases}\] Запишем для каждого отсека уравнение Менделеева–Клапейрона и выразим изменение температуры: \[\begin{cases} pV_1 = \nu_1RT_1,\\ pV_2 = \nu_2RT_2 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \nu_1R\Delta T_1 = p\Delta V + V_1\Delta p,\\ \nu_2R\Delta T_2 = -p\Delta V + V_2\Delta p. \end{cases}\] Отсюда получим, что \[\begin{cases} q_1\Delta t = \frac32V_1\Delta p + \frac52p\Delta V,\\ -q_2\Delta t = \frac32V_2\Delta p - \frac52p\Delta V. \end{cases}\] Сложим и вычтем друг из друга записанные выше уравнения: \[\begin{cases} (q_1 - q_2)\Delta t = 3V_0\Delta p,\\ (q_1 + q_2)\Delta t = \frac32(V_1 - V_2)\Delta p + 5p\Delta V. \end{cases} \tag{*}\] Тогда для начального момента (\(p = p_0\), \(V_1 = V_2 = V_0\)) получим \((q_1 + q_2)\Delta t = 5p_0\Delta V\). Отсюда, учитывая, что \(\Delta V = Sv_0\Delta t\), найдём начальную скорость поршня \(v_0\): \[v_0 = \frac{q_1 + q_2}{5p_0S}.\]

2. Если \(q_1 = q_2 = q\), то задача упрощается, и из первого уравнения в (\(*\)) находим, что \(p = p_0 = \mathrm{const}\). Из второго уравнения в (\(*\)) получим \(2q\Delta t = 5p_0\Delta V\). Это означает, что скорость движения поршня постоянна и равна \(v = 2q/(5p_0S)\).

3. Если отношение объёмов \(V_1 : V_2 = 3 : 1\), то \(V_1 = 3V_0/2\), \(V_2 = V_0/2\). Поскольку поршень в этом пункте задачи неподвижен, объём обоих отсеков со временем не меняется. Перепишем уравнения (\(*\)), изменив знак у \(q_2\) и учитывая, что в каждом отсеке происходит изохорный процесс (\(\Delta V = 0\)): \[\begin{cases} (q_1 + q_2)\Delta t = 3V_0\Delta p,\\ (q_1 - q_2)\Delta t = \frac32V_0\Delta p. \end{cases}\] Из полученных уравнений следует, что \[\frac{q_1 + q_2}{q_1 - q_2} = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{q_2}{q_1} = \frac13.\]