Груз на блоке и шкивах

Мощность равна силе, умноженной на скорость поднятия груза. Скорость груза найдите из условия нерастяжимости нити: сколько нити наматывается на вал и сколько сматывается с малого шкива.

При движении с постоянной скоростью мощность силы можно рассчитать по формуле \(N = F\cdot v\), где \(F\) — сила, с которой тянут груз, а \(v\) — скорость поднятия груза. Скорость \(v\) найдём из уравнения кинематической связи. Направим ось \(OX\) вверх, начало отсчёта выберем на уровне начального положения груза. Обозначим скорость вращения крайних точек малого шкива через \(V'\). Поскольку скорость вращения крайних точек большого шкива равна скорости горизонтального участка нити \(V\), то изменение координаты груза \(\Delta x\) за время \(\Delta t\) можно выразить из уравнения \[2\Delta x = V\Delta t - V'\Delta t,\] где первое слагаемое в правой части уравнения равно длине нити, наматывающейся через большой шкив на вал двигателя за время \(\Delta t\), а второе слагаемое — длине нити, разматывающейся с малого шкива за то же время \(\Delta t\). Учитывая, что шкивы скреплены, можно записать: \(V'/r = V/R\). Выразим отсюда \(V'\), подставим это выражение в предыдущее уравнение и разделим его на \(\Delta t\). В результате получаем: \[\dfrac{2\Delta x}{\Delta t} = V - \dfrac{V}{R}r = V\left(1 - \dfrac{r}{R}\right).\] Отсюда находим скорость \(v\) поднятия груза: \(v = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{1}{2}V\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)\).

Поскольку груз поднимается равномерно, то сумма действующих на него сил равна нулю: \(F = Mg\). Таким образом, получаем окончательное выражение для мощности, развиваемой двигателем при поднятии груза: \(N = \dfrac{1}{2}MgV\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)\).