Палочка в воде

Пока палочка наклонена, под водой остаётся постоянная доля её длины \(\lambda\) (она видна на графике). Запишите равенство моментов силы тяжести и силы Архимеда относительно шарнира.

Из графика понятно, что \(L_{\text{п}} = h\) при \(\lambda \leqslant L_{\text{п}}/L < 1\), и \(L_{\text{п}} = L\) при \(h \geqslant L\), то есть, начиная с \(L_{\text{п}}/L = \lambda\), палочка стоит в воде вертикально — сначала частично, а затем полностью погружённой в воду. Это может иметь место, только если плотность материала палочки \(\rho_{\text{п}}\) меньше, чем плотность воды \(\rho_{\text{в}}\). В то же время \(L_{\text{п}}/L = \lambda = \text{const}\) при \(0 < h \leqslant \lambda L\), то есть в воду при этом погружена постоянная часть длины палочки, а угол \(\alpha\) её наклона к горизонту по мере роста уровня воды в сосуде от \(0\) до \(\lambda L\) растёт от \(0\) до \(90^\circ\).

Рассмотрим условия равновесия палочки при неполном её погружении в воду в наклонном положении (см. рисунок). На палочку действуют: сила тяжести \(mg = \rho_{\text{п}} gSL\) (здесь \(S\) — площадь сечения палочки), направленная вниз и приложенная к её середине, выталкивающая сила Архимеда \(F_{\text{Арх}} = \rho_{\text{в}} gS\cdot\lambda L\), направленная вверх и приложенная к середине погружённой в воду части палочки, и сила реакции шарнира, приложенная в точке прикрепления палочки к дну сосуда (на рисунке не показана). В состоянии равновесия сумма моментов этих сил относительно точки крепления палочки в шарнире должна быть равна нулю. Поскольку момент силы реакции шарнира равен нулю, то должно выполняться равенство: \(\rho_{\text{п}} gSL\cdot(L/2)\cos\alpha = \rho_{\text{в}} gS\cdot\lambda L\cdot(\lambda L/2)\cos\alpha\), откуда получаем, что \(\rho_{\text{п}} = \rho_{\text{в}}\lambda^2\).