Тень воздушного шара

Тень исчезает, когда конус полной тени, из-за конечного углового размера Солнца, перестаёт доставать до земли; найдите длину этого конуса из подобия треугольников.

\(h=\dfrac{2R}{\delta\alpha}\sin\alpha\approx3\) км.

Основная причина, приводящая к исчезновению тени – конечные размеры Солнца (т.е. Солнце не является точечным источником). Лучи, испущенные разными участками Солнца по разному перекрываются воздушным шаром. Поэтому за последним образуется область полной тени, куда не попадают никакие лучи, и область полутени, в которую не попадают некоторые солнечные лучи. Для оценки можно считать, что тень исчезает, когда область полной тени перестает простираться до поверхности земли.

Для построения областей полной тени и полутени следует построить области теней для лучей, испущенных крайними точками диска Солнца (см. рис, на котором поперечные размеры сильно увеличены). Таковыми являются конусы, ограниченные лучами \(A_1A_2N - A_1B_2M\) и \(B_1A_2M_2 - B_1B_2N\). Из рисунка следует, что областью полной тени является конус, сечение которого на рисунке - \(A_2NB_2\). Высоту этого конуса легко найти, используя подобие треугольников \(A_2NB_2\) и \(A_1NB_1\):

\[\frac{\vert A_2B_2\vert }{\vert C_2N\vert } = \frac{\vert A_1B_1\vert }{\vert C_1N\vert } \quad \Rightarrow \quad l = \frac{2R}{D}L\tag{1}\]

здесь обозначено \(l = \vert C_2N\vert\) - расстояние от центра шара до земли, \(L = \vert C_1N\vert\) - расстояние от Земли до Солнца, \(2R = \vert A_2B_2\vert\) - диаметр шара, \(D = \vert A_1B_1\vert\) - диаметр Солнца. Далее учтем, что \(\frac{D}{L} = \delta\alpha\) - угловой размер Солнца, а высота шара над поверхностью земли \(h = l \sin\alpha\). Следовательно, искомая высота равна

\[h = \frac{2R}{\delta\alpha} \sin\alpha.\tag{2}\]

Для численных расчетов необходимо угловой размер Солнца следует выразить в радианах:

\[h = \frac{2R}{\delta\alpha} \sin\alpha = \frac{40\,\text{м}}{\frac{2\pi}{360^\circ} \cdot 0{,}5^\circ} \sin 45^\circ \approx 3\,\text{км}.\tag{3}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.