Подогрев воды с потерями

Мощность плитки идёт на нагрев воды и на потери через поверхность сосуда; в установившемся режиме они равны, а в начале нагрева потерь ещё нет.

1.1) \(t\approx 1{,}4\cdot10^{2}\) с;  1.2) \(H_{\max}\approx0{,}72\) м;  1.3) \(\approx2{,}0\) л/мин;  2.1) расчёт даёт \(T_{\max}\approx114\,^\circ\)C, поэтому вода нагреется лишь до температуры кипения \(100\,^\circ\)C;  2.2) \(P\approx2{,}5\) кВт, \(\beta\approx1{,}2\cdot10^{3}\) Вт/(м\(^2\cdot{}^\circ\)С);  2.3) график экспоненциального остывания от \(50\,^\circ\)C к \(20\,^\circ\)C (см. решение).

1. Постоянные потери

1.1. За время \(t\) в сосуд от нагревателя поступит энергия \(E_{\text{н}} = Pt\). Тепловые потери осуществляются через боковую поверхность сосуда и поверхность воды в сосуде. Тогда общая площадь механизма тепловых потерь:

За время \(t\) на тепловые потери уйдет энергия \(E_{\text{пот}} = q_0 S_{\text{пот}} t\). Поступающая энергия идет на нагревание воды, массу которой можно определить через ее объем:

\[m_0 = \rho \pi r^2 H = 1{,}57 \text{ кг}\]

Тогда, записывая количество энергии, необходимое на нагрев воды, получаем:

Подставляя выражения для энергий, найдем время, необходимое для нагрева воды:

1.2. Чтобы воду можно было нагревать, количество потерь энергии не должно превышать количество поступающей от нагревателя. Пограничный случай: \(E_{\text{н}} = E_{\text{пот}}\), откуда при подстановке соответствующих выражений:

1.3. Пусть объем воды, приходящий в единицу времени равен \(\lambda_0\). Тогда объем воды \(\lambda_0 t\), или массу \(\rho \lambda_0 t\), поступающую (и уходящую) за время \(t\), необходимо успеть нагреть от температуры \(T_1\) до \(T_3\), то есть:

\[E_{\text{н}} - E_{\text{пот}} = c (\rho \lambda_0 t) (T_3 - T_1)\]

Подставляя полученные ранее выражения для энергий, пренебрегая потерями теплоты и площадью подводящих и уводящих воду труб, получим:

2. Переменные потери

2.1. Мощность тепловых потерь теперь определяется выражением \(P_{\text{пот}} = \beta (T - T_1) S_{\text{пот}}\), где \(T\) – текущая температура воды. Когда вода оказывается при максимальной неизменной температуре \(T_{\text{max}}\), ее нагрева больше не происходит, и вся мощность, получаемая от плитки, уходит в тепловые потери:

\[P = P_{\text{пот}} = \beta (T_{\text{max}} - T_1) S_{\text{пот}}\]

Отсюда максимальная температура:

Однако при нормальном давлении вода может нагреться лишь до температуры кипения (за исключением некоторых «экзотических» случаев). Поэтому корректным ответом данного пункта будет: воду можно нагреть вплоть до температуры кипения \(T_{\text{кип}} = 100 \text{ }^\circ\text{С}\).

2.2. Из графика видно, что в начальный момент времени температура жидкости \(T\) равна температуре окружающего воздуха \(T_1\). Тогда мощность тепловых потерь \(P_{\text{пот}} = 0\). Записывая уравнение теплового баланса для небольшого промежутка времени \(\Delta t\) в начале нагрева, когда вода успела нагреться на некоторую температуру \(\Delta T\), получим:

\[P \Delta t - 0 = c m_0 \Delta T\]

\[P = c m_0 \frac{\Delta T}{\Delta t}\]

Отношение \(\frac{\Delta T}{\Delta t}\), описывающее, как уже было отмечено, скорость нагрева/остывания воды, можно найти, построив касательную к графику зависимости температуры воды от времени в точке \(t = 0\). Тогда, выбирая промежуточный отрезок \(\Delta t\) на оси температур, можно найти соответствующее приращение температуры \(\Delta T\) и найти отношение:

\[\frac{\Delta T}{\Delta t} = 22{,}5 \frac{^\circ\text{C}}{\text{мин}} = 0{,}375 \frac{^\circ\text{C}}{\text{с}}\]

Тогда полезная мощность плитки оказывается равной:

\[P = 2470 \text{ Вт}\]

Из графика также можно заметить, что максимальная температура нагрева воды составляет \(T_{\text{max1}} = 50 \, ^\circ\text{C}\). Тогда, как и в пункте 2.1, получаем выражение \(P = \beta_1 (T_{\text{max1}} - T_1) S_{\text{пот}}\). Отсюда коэффициент теплоотдачи:

\[\beta_1 = \frac{P}{(T_{\text{max1}} - T_1) S_{\text{пот}}} = 1160 \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot ^\circ\text{C}}\]

2.3. Вновь запишем уравнение теплового баланса при остывании жидкости на \(\Delta T\) за малый промежуток времени \(\Delta t\) в какой-то момент:

\[\beta_1 (T - T_1) S_{\text{пот}} \Delta t = c m_0 \Delta T\]

Отсюда, зная значение \(\beta_1\) и остальных характеристик из предыдущих пунктов, можем выразить зависимость убывания температуры воды от ее температуры: \(\Delta T(T)\):

\[\Delta T(T) = \frac{\beta_1 S_{\text{пот}}}{c m_0} (T - T_1) \Delta t\]

Выбирая за \(\Delta t\), некоторый промежуток времени, например \(0{,}5\) мин, можем пошагово вычислять примерное изменение температуры и заносить данные в таблицу: Таблица 1 – Пошаговое вычисление температуры воды от времени при остывании

На основании полученных данных можно нанести точки на искомый график зависимости и провести через них сглаживающую кривую:

Рисунок 1 - Зависимость температуры воды от времени в ходе остывания

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.