Три груза

Не спешите писать уравнения для всех трёх грузов: сначала проверьте, может ли нить второго груза оставаться натянутой, если его ускорение получается больше \(g\).

Действующие в системе силы изображены на рисунке. Т.к. стержень жёсткий, а нити нерастяжимые, ускорения грузов относятся как \(1\!:\!2\!:\!3\). Сумма моментов сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю. Эти два условия вместе с уравнениями 2-го закона Ньютона для всех грузов дают систему уравнений

\[\begin{cases} 20ma = 20mg - T_1 \\ 12m\cdot 2a = 12mg - T_2 \\ m\cdot 3a = T_3 - mg \\ T_1 l + T_2\cdot 2l = T_3\cdot 3l \end{cases} \qquad (1)\] из которой находим \[a = \frac{41}{77}\,g. \qquad (2)\] Однако найденное значение ускорения второго груза \(a = \dfrac{82}{77}\,g\) получается больше ускорения свободного падения. Это означает, что нить второго груза не будет натянутой, а его ускорение равно \(g\). Также можно показать, что формально из системы уравнений (1) следует, что \(T_2 < 0\), чего для нити быть не может. Следовательно, нить, к которой подвешен второй груз, на стержень не действует. Поэтому система уравнений (1) неверно описывает рассматриваемое устройство. Для расчёта ускорений стержня и остальных грузов второй груз следует исключить. Правильные значения ускорений первого и третьего грузов находятся из следующей системы уравнений: \[\begin{cases} 20ma = 20mg - T_1 \\ m\cdot 3a = T_3 - mg \\ T_1 l = T_3\cdot 3l \end{cases} \qquad (3)\] Решая эту систему уравнений, окончательно получаем \(a = \dfrac{17}{29}\,g\): \[a_1 = \frac{17}{29}\,g, \qquad a_2 = g, \qquad a_3 = \frac{51}{29}\,g. \qquad (4)\]