Земная невесомость

В части 1 ускорение при невесомости равно \(g\) и направлено вниз; для параболы достаточно разложить начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие. В точке \(C\) сравните, как меняется центр кривизны траектории при переходе с одной параболы на другую.

Часть 1. 1.1. Вес тела \(\vec P\) — сила, с которой тело действует на опору или растягивает подвес. В отличие от силы тяжести, вес, приложенный к опоре или подвесу, зависит от состояния движения опоры или подвеса. Рассмотрим (для определённости) брусок на горизонтальной поверхности (Рис. 1), которая может двигаться вверх или вниз с различными скоростями и ускорениями.

При равномерном движении опоры в любом направлении вес \(P\) тела не изменится, поскольку эта система отсчёта инерциальная (ИСО). Если же опора будет иметь ускорение, направленное, например, вверх (см. Рис. 1), то вес тела увеличится (следует из второго закона Ньютона): \[P_\uparrow = m(g+a). \qquad (1)\] Заметим, что (1) никак не зависит от направления скорости — тело может двигаться как вверх, так и вниз, важно направление именно ускорения. Таким образом, при направлении ускорения лифта «вверх» получить состояние невесомости (\(P = 0\)) никак не получится. При направлении ускорения лифта «вниз» ситуация меняется: \[P_\downarrow = m(g-a). \qquad (2)\] Следовательно, при движении лифта вниз с ускорением \(a = g\) будет наступать состояние невесомости: \[P_\downarrow = m(g-g) = 0. \qquad (3)\] Как следует из (3), лифт может двигаться в любом направлении (опускаться, ускоряясь, или подниматься, замедляясь), но с ускорением \(a_1 = g\), направленным вниз. При этом его пассажиры испытают кратковременную невесомость. Простейший вариант — свободное падение на небольшом промежутке времени (не более нескольких секунд!).

1.2. Как следует из решения пункта 1.1, при движении тела с ускорением свободного падения \(a_1 = g\) оно находится в состоянии невесомости. Поскольку при движении в поле тяжести Земли это условие выполнено, то приходим к выводу, что при движении по параболе (под действием одной силы тяжести \(mg\)) тело будет в состоянии невесомости.

1.3. Поскольку на участке \(ABC\) самолёт выключает двигатели (Рис. 2) и переходит на параболическую траекторию, то его движение ничем не отличается от движения камешка, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту (Рис. 3).

Соответственно, для нахождения времени невесомости \(t_{\text{н}}\) можно воспользоваться известной формулой для времени полёта тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\): \[t_{\text{н}} = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g} = 26{,}0\ \text{с}. \qquad (4)\] Хотя полученное значение \(t_{\text{н}}\) и не очень большое, но это время «в десятки раз» превышает время «лифтовой невесомости».

1.4. В верхней точке траектории скорость самолёта \(v_1\) будет равна проекции его начальной скорости на горизонтальное направление: \[v_1 = v_{0x} = v_0\cos\alpha = 460\ \text{км/ч} = 128\ \text{м/с}. \qquad (5)\] Вычислим также радиус \(R\) кривизны параболы в верхней точке траектории, предполагая, что самолёт движется по дуге окружности радиуса \(R\) с ускорением \[\frac{v_1^2}{R} = g \quad\Rightarrow\quad R = \frac{v_1^2}{g}. \qquad (6)\]

1.5. Для вычисления высоты \(h_1\) максимального подъёма (см. Рис. 3) самолёта над уровнем \(AC\) воспользуемся формулой для максимальной высоты подъёма тела, брошенного под углом к горизонту: \[h_1 = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g} = 835\ \text{м}. \qquad (7)\]

1.6. Поскольку парабола \(CDE\) по условию симметрична параболе \(ABC\), то её прогиб \(h_1\) и радиус \(R\) кривизны такие же, как и в ранее рассмотренных пунктах. Соответственно, в нижней точке \(D\) траектории (см. Рис. 2) по закону сохранения энергии скорость самолёта вырастет до значения: \[v_2 = \sqrt{v_0^2 + 2gh_1}. \qquad (8)\]

Следовательно, центростремительное ускорение самолёта будет направлено вверх и равно: \[a_2 = \frac{v_2^2}{R} = \frac{v_0^2+2gh_1}{v_1^2}\,g = 29{,}4\ \text{м/с}^2 = 3{,}00\,g, \qquad (9)\] где \(R\) — радиус (6) кривизны параболы в нижней точке траектории (такой же, как и в верхней точке). Таким образом, ответ в данном пункте принимает вид: \[\eta = \frac{a_2}{g} = 3{,}00. \qquad (10)\] Для справки на Рис. 4 приведены показания приборов, измеряющих перегрузку в реальной ситуации. Как видно из рисунка, показания самописцев в районе точки \(D\) дают для перегрузки значение \(\eta = \dfrac{a_2}{g} = 2{,}00\). Таким образом, наша оценка представляется вполне адекватной и реальной.

Часть 2.

2.1. При учёте силы сопротивления воздуха (т.е. в реальной ситуации) пилоты не выключают двигатели полностью, поскольку для возникновения невесомости необходимо силой тяги двигателей \(F_{\text{т}}\) постоянно компенсировать действующую на самолёт силу сопротивления воздуха \(F_{\text{с}} = -\beta v^2\). Для этого (помимо высокого лётного мастерства!) необходима мгновенная мощность: \[P_{\text{д}}(t) = F_{\text{т}}\cdot v = F_{\text{с}}\cdot v = \beta v^3. \qquad (11)\]

При движении по параболе скорость тела меняется (сначала уменьшается, а потом увеличивается) от времени по закону: \[v(t) = \sqrt{v_{0x}^2 + (v_{0y} - gt)^2}, \qquad (12)\] Соответственно, искомая мощность: \[P_{\text{д}}(t) = \beta\left(\sqrt{v_{0x}^2 + (v_{0y}-gt)^2}\right)^3 = \beta\left(\sqrt{v_0^2 - 2v_0\sin\alpha\,gt + g^2t^2}\right)^3. \qquad (13)\] Все необходимые вычисления следует проводить с учётом правила сохранения трёх значащих цифр (столько задано в условии).

2.2. При движении вблизи точки \(C\) происходит «смена» парабол и, соответственно, мгновенный перенос центров кривизны различных участков траекторий из точки \(O_1\) в точку \(O_2\) (Рис. 5). Это приводит к резкому изменению направления центростремительного ускорения на угол примерно в 180 градусов (было направление \(CO_1\), а «через мгновение» стало \(CO_2\)). Такое изменение действующих сил и ускорений изнутри самолёта воспринимается как действие больших сил инерции, что и «чувствуют» на себе пассажиры. Данное явление, правда, в меньших масштабах, можно наблюдать при двойном повороте трамвая или троллейбуса, если внимательно проследить за синхронными «качаниями голов» сидящих пассажиров.