Эхолот на льдине

Сигнал идёт сначала через лёд, потом через воду, и обратно. Запишите время как функцию толщины льда и глубины дна и найдите дно в точках излома графика \(t(x)\).

Введём ось \(OY\), направленную вертикально вниз, начало отсчёта которой совпадает с началом отсчёта оси \(OX\). Так как профиль нижней поверхности льдины и график \(t(x)\) представляют собой ломаные линии, следовательно, профиль дна водоёма тоже представляет собой ломаную линию. Покажем это. Пусть на некотором интервале оси \(OX\) профили нижней поверхности льдины и поверхности дна водоёма являются линейными функциями в зависимости от координаты \(x\): \(y_\text{л} = a_\text{л}x + b_\text{л}\) и \(y_\text{д} = a_\text{д}x + b_\text{д}\) соответственно. Тогда \[t(x) = 2\cdot\left(\frac{a_\text{л}x + b_\text{л}}{v_\text{л}} + \frac{a_\text{д}x + b_\text{д} - a_\text{л}x - b_\text{л}}{v_\text{в}}\right),\] где \(v_\text{л}\), \(v_\text{в}\) — скорости распространения звука в льдине и в воде соответственно. Видно, что \(t(x)\) на данном интервале оси \(OX\) является линейной функцией.

Найдём координаты \(y\) поверхности дна при \(x_1 = 0\) см, \(x_2 = 150\) см, \(x_3 = 300\) см и \(x_4 = 450\) см, то есть в координатах концов трёх отрезков, из которых состоит график \(t(x)\). Из уравнений \[\begin{aligned} 6{,}8\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}6\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(0) - 0{,}6\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}6\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}9\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(150) - 0{,}9\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}0\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{1{,}2\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(300) - 1{,}2\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right),\\ 6{,}2\text{ мс} &= 2\cdot\left(\frac{0{,}3\text{ м}}{3000\text{ м/с}} + \frac{y(450) - 0{,}3\text{ м}}{1500\text{ м/с}}\right), \end{aligned}\] находим \(y(0) = 5{,}4\) м, \(y(150) = 5{,}4\) м, \(y(300) = 5{,}1\) м и \(y(450) = 4{,}8\) м.

Теперь достаточно соединить четыре найденные точки координатной плоскости \(XY\).