Задачи › Уравнение состояния

Шипучка

  1. Шипучка

    Белорусская 2023/24, заключительный этап, 10 кл. · №24825
    6/10PDF: условиес решением

    Если в раствор соды добавить немного лимонной кислоты, то начнется процесс выделения углекислого газа, то есть раствор станет газированным, т.е. шипучим. В данном задании Вам необходимо исследовать процесс выделения газа.

    Приборы и оборудование: Шприц 150 мл, манометр с верхним пределом измерения 300 мм. рт. ст., колба с отводом, пробка резиновая с термометром, штуцер, трубки пластиковые соединительные, барометр (один на кабинет), раствор соды, раствор лимонной кислоты, салфетки.

    Внимание! 1. Следите, чтобы показания манометра не превышали 100 мм рт. ст., иначе пробка может выскочить из колбы. 2. Серию экспериментов с растворами Вы сможете провести только 1 раз, поэтому тщательно продумайте последовательность ваших действий и будьте аккуратны при выполнении работы.

    В данной работе Вам предоставлен стандартный прибор для изучения газовых законов из комплекта оборудования кабинета физики.

    Соберите экспериментальную установку: плотно закройте колбу пробкой, вставьте штуцера в отвод колбы, в одну из соединительных трубок вставьте манометр, установите поршень шприца на отметке 150 мл и вставьте его в другую трубку штуцера. Медленно изменяйте объём воздуха в шприце и наблюдайте за показаниями манометра. Выясните: есть ли утечка воздуха из Вашей установки. Если есть, то устраните её и приступайте к основной части задачи.

    В колбу налит раствор соды, он должен находится там во всех экспериментах.

    Используйте следующие обозначения: \(V_0\) – внутренний объём воздуха в установке без объема шприца (объём колбы плюс объем штуцера и соединительных трубок, минус объем раствора в колбе); \(P_0\) – атмосферное давление; \(p\) - разность давление в колбе и атмосферного давления (показания манометра); \(v\) – объем воздуха в части шприца, соединенной с колбой (далее будем называть эту величину для краткости объемом шприца); \(v_{\text{max}} = 150 \text{мл}\) – полный объем шприца.

    Все измерения проводите при комнатной температуре, влажностью воздуха пренебрегайте. Контролируйте постоянство температуру в колбе. Не забывайте привести все формулы (с их выводами), которые использованы Вами в расчетах.

    Молярная масса воздуха равна \(M_0 = 29 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\);

    Молярная масса углекислого газа (\(CO_2\)) равна \(M_1 = 46 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}\);

    Считайте, что давление в 760 мм рт. ст. равно \(1{,}0 \cdot 10^5 \text{Па}\)

    Универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}21 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}\)

    Допускается измерение давлений в мм рт. ст., и измерение объемов в мл.

    Часть 1. Измерение внутреннего объема.

    1.1 Укажите чему равно атмосферное давление \(P_0\) и комнатная температура \(T\).

    1.2 Измерьте зависимость показаний манометра \(p\) от объема шприца \(v\).

    Укажите, в какой последовательности Вы проводили измерения. Результаты измерений представьте в Таблице 1 Листов ответов.

    1.3 Получите теоретическую формулу описывающую зависимость разности давлений \(p\) от объема воздуха в поршне \(v\) при изотермическом процессе.

    1.4 Представьте полученную зависимость в линеаризованном виде, т.е. найдите такую безразмерную функцию некоторой величины \(Z(p)\), чтобы ее зависимость от объема воздуха в шприце была линейной

    \[Z = Av + B\tag{1}\]

    Величины \(Z(p)\) должны быть рассчитаны на основании экспериментальных данных. Изменения объемов и давлений нельзя считать малыми.

    1.5 На основании экспериментальных данных постройте график зависимости \(Z(v)\). Найдите численные значения коэффициентов \(A\), \(B\) в функции (1).

    1.6 Рассчитайте внутренний объем прибора \(V_0\). Оцените погрешность найденного значения.

    1.7 Рассчитайте массу воздуха в колбе и количество молей этого воздуха.

    Часть 2. Выделение газа.

    В этой части Вам необходимо провести исследование процесса выделения газа в ходе химической реакции между содой и лимонной кислотой. Предлагаем следующую последовательность проведения эксперимента: - установите поршень шприца в крайнее положение \(v = 0\); - откройте пробку колбы и аккуратно влейте внутрь 20 мл (это выданная вам порция) раствора лимонной кислоты; - дождитесь, когда закончится бурное выделение газа (этот процесс длится примерно 10 с); плотно закройте колбу пробкой, закрепите ее с помощью резинок; - слегка встряхните колбу с шипучкой, чтобы процесс выделения газа пошел активнее; подождите несколько секунд, чтобы поршень сдвинулся, затем быстро, чтобы можно было пренебречь выделение газа за время измерений, проведите необходимые измерения; - повторите процесс встряхивания (и последующие измерения) 3 раза; - после этого приступайте к обработке результатов измерений. Расчёт погрешностей в данной части не требуется.

    После каждого встряхивания проведите следующие измерения следующих величин:

    2.1 После остановки поршня шприца измерьте объем газа в шприце \(v_0\) и показания манометра \(p_0\).

    2.2 Плавно изменяя объем газа в шприце, измерьте зависимость разности давлений (показания манометра) \(p(v)\) от объема газа в шприце \(v\) (достаточно 4-5 измерений).

    После проведения всех измерений проведите следующую их обработку (для каждой серии измерений, после каждого встряхивания)

    2.3 На одном бланке постройте графики зависимостей \(p(v)\) после каждого встряхивания.

    2.4 По построенным графикам рассчитайте массы углекислого газа, выделившегося после начала измерений.

    Кратко опишите методику расчета массы углекислого газа. Приведите расчетные формулы. Можете предложить графический метод расчета.

    2.5 Используя результаты проведенных измерений (а при необходимости можете провести дополнительные измерения), рассчитайте силу трения поршня о стенки шприца.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Объём воздуха в колбе можно найти по закону Бойля — Мариотта, линеаризовав зависимость \(P_0/(P_0+p)\) от объёма шприца. Выделившийся газ даёт сдвиг линейного графика \(p(v)\) вдоль оси объёмов.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1.1) \(P_0=730\) мм рт. ст., \(T=296\) К; 1.3) \(p=\dfrac{P_0(V_0+v_{\max})}{V_0+v}-P_0\); 1.4) \(Z=\dfrac{P_0}{P_0+p}=Av+B\), \(A=\dfrac1{V_0+v_{\max}}\), \(B=\dfrac{V_0}{V_0+v_{\max}}\); 1.6) \(V_0=(456\pm23)\) мл; 1.7) \(m\approx0{,}55\) г; 2.4) \(\Delta m=\dfrac{M_1P_0^2}{V_0RT}v^{\prime}\): 4,3 мг, 7,2 мг, 10,5 мг; 2.5) \(F=pS=3{,}6\) Н.

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Часть 1. Измерение внутреннего объема.

    1.1 Измерения проводились при атмосферном давлении \(P_0 = 730\) мм рт. ст. и температуре

    \[T = 23^\circ\text{C} = 296 \text{ K}\]

    1.2 Результаты измерений зависимости разности давлений от объема газа в шприце приведены в Таблице 1.

    Таблица 1.

    \(v\), мл\(p\), мм рт. ст.параметр \(Z\)
    15001,000
    140120,984
    130250,967
    120360,953
    110490,938
    100600,925
    90750,907
    80930,888
    701160,864
    601240,856

    1.3 Теоретическая зависимость \(p(v)\) следует из закона Бойля – Мариотта:

    \[(P_0 + p)(V_0 + v) = P_0(V_0 + v_{\text{max}}) \quad \Rightarrow \quad p = \frac{P_0(V_0 + v_{\text{max}})}{(V_0 + v)} - P_0.\tag{1}\]

    1.4 Возможная линеаризация данной зависимости имеет вид

    \[\frac{P_0}{P_0 + p} = \frac{(V_0 + v)}{(V_0 + v_{\text{max}})} = \frac{1}{(V_0 + v_{\text{max}})}v + \frac{V_0}{(V_0 + v_{\text{max}})}.\tag{2}\]

    В этой зависимости безразмерный параметр \(Z\) есть

    \[Z = \frac{P_0}{P_0 + p}.\tag{3}\]

    Коэффициенты линейной зависимости выражаются формулами

    \[A = \frac{1}{(V_0 + v_{\text{max}})}, \quad B = \frac{V_0}{(V_0 + v_{\text{max}})}.\tag{4}\]

    Если рассчитать эти коэффициенты, то искомый объем прибора вычисляется по простой формуле

    \[V_0 = \frac{B}{A}.\tag{5}\]

    1.5 Рассчитанные значения параметра \(Z\) приведены в Таблице 1. График линеаризованной зависимости показан на рисунке

    Рисунок

    Значения коэффициентов линейной зависимости, рассчитанные по МНК, равны

    \[A = (1{,}63 \pm 0{,}08)\cdot 10^{-3}\ \text{мл}^{-1} \\ B = 0{,}757 \pm 0{,}008\tag{6}\]

    1.6 Объем воздуха в колбе, рассчитанный по формуле (5), равен

    \[V_0 = (456 \pm 23) \text{мл}\tag{7}\]

    1.7 Массу воздуха в колбе можно посчитать, исходя из уравнения состояния Менделеева – Клапейрона

    \[m = \frac{1}{M} \frac{P_0 V_0}{T} = 0{,}55 \text{г}.\tag{8}\]

    Часть 2. Выделение газа.

    2.1 – 2.2 Результаты измерения зависимостей \(p(v)\) после встряхивания колбы приведены в Таблице 2.

    Таблица 2.

    первое встряхиваниевторое встряхиваниетретье встряхивание
    \(v\), мл\(p\), мм рт. ст.\(v\), мл\(p\), мм рт. ст.\(v\), мл\(p\), мм рт. ст.
    3032406010030
    401555416086
    204530798055
    106350477072
    565652411012
    3523702010522
    m=4,3мгm=7,2мгm=10,5мг

    Жирным шрифтом в Таблице 2 выделены значения \(v_0\), \(p_0\).

    2.3 Графики этих зависимостей показаны на рисунке.

    Рисунок

    2.4 Полученные графики практически линейны, что позволяет считать изменения объемов и давлений относительно малыми. В этом приближении уравнение состояния газа в приборе имеет вид

    \[\begin{aligned} & (P_0 + p)(V_0 + v) = (v_0 + \Delta v)RT \quad \Rightarrow \\ & P_0 v + V_0 p = \Delta v RT \end{aligned}\tag{9}\]

    Из которого следует, что полученные зависимости могут быть описаны линейной функцией

    \[p = -\frac{P_0}{V_0} v + \frac{\Delta m}{M_2} \frac{RT}{P_0}.\tag{10}\]

    Построенные графики хорошо подтверждают эту зависимость: во-первых, они линейны; во-вторых, коэффициенты наклона примерно одинаковы и примерно равны теоретическому значению.

    Свободные члены в функциях (10) легко определить графически с помощью точек пересечения графиков с осью объемов \(v'\). Полагая для этих точек \(p = 0\), получим формулу для расчета массы выделившегося углекислого газа

    \[-\frac{P_0}{V_0} v' + \frac{\Delta m}{M_2} \frac{RT}{P_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{M_2 P_0^2}{V_0 RT} v'.\tag{11}\]

    Рассчитанные по этой формуле значения масс приведены в последней строке таблицы 2.

    2.5 Для определения силы трения поршня о стенки шприца достаточно заметить, что если сжать газ, а затем освободить поршень, он останавливается при показаниях манометра примерно равным 23 мм рт. ст. Значит при этой разности давлений сила трения уравновешивает давления газа, поэтому она равна

    \[F = pS = 3{,}6\text{Н}.\tag{12}\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх