Отражение

При силе, пропорциональной скорости, изменение скорости пропорционально пройденному пути, поэтому график скорости от координаты — прямая; удар о стенку и отражение света в зеркале удобно учитывать «отражением» графика (метод изображений).

1.1) а) \(\dfrac{V}{V_0}=1-\dfrac15\left(\dfrac{x}{a}-1\right)\) при \(1<\dfrac{x}{a}<6\); б) до удара \(\dfrac{V}{V_0}=1+\dfrac15\left(\dfrac{x}{a}-1\right)\) при \(0<\dfrac{x}{a}<1\), после удара \(\dfrac{V}{V_0}=\dfrac45-\dfrac{x}{5a}\) при \(0<\dfrac{x}{a}<4\); 2.2) \(I(x)=I_1(x)+I_1(x+2a)\) (график исходной зависимости складывается с его сдвигом на \(2a\) влево).

Часть 1. Механическая

Найдем зависимость скорости шарика от его координаты. Запишем уравнение второго закона Ньютона для движущегося шарика

\[ma = -\beta V,\tag{1}\]

и подставим в него выражения для мгновенных скорости и ускорения

\[m\frac{\Delta V}{\Delta t} = -\beta\frac{\Delta x}{\Delta t}.\tag{2}\]

После сокращения на \(\Delta t\) получим

\[m\Delta V = -\beta\Delta x.\tag{3}\]

Данное выражение справедливо не только для малых промежутков времени, но и для любых конечных интервалов (что доказывается простым суммированием по малым промежуткам), поэтому

\[V - V_0 = -\frac{\beta}{m}(x - x_0) \quad \Rightarrow \quad V = V_0 - \frac{\beta}{m}(x - x_0).\tag{4}\]

Таким образом, скорость линейно убывает с ростом пройденного пути. Очевидно, что формула (4) справедлива только для положительных значений модуля скорости. Подставим значение \(\beta = \frac{mV_0}{5a}\) и получим окончательный вид:

\[V = V_0 - \frac{V_0}{5a}(x - x_0)\tag{5}\]

При движении шарика от стенки, формула (5) определяет искомую функцию в виде

\[V = V_0 - \frac{V_0}{5a}(x - a), \quad (a < x < 6a)\tag{6}\]

Для построения графика удобно эту функцию представить в относительных единицах

\[\frac{V}{V_0} = 1 - \frac{1}{5}\left(\frac{x}{a} - 1\right), \quad \left(1 < \frac{x}{a} < 6\right)\tag{7}\]

График этой функции представляет отрезок прямой \(AB\). В том случае, когда начальная скорость шарика направлена к стенке, то до удара зависимость скорости от координаты определяется выражением

\[\frac{V}{V_0} = 1 + \frac{1}{5}\left(\frac{x}{a} - 1\right), \quad \left(0 < \frac{x}{a} < 1\right).\tag{8}\]

Этот участок на графике изображается отрезком \(AC\). После отражения от стенки направление вектора скорости изменится на противоположное, поэтому вид функции изменится (отрезок \(CD\) на графике):

\[\frac{V}{V_0} = \frac{4}{5} - \frac{x}{5a}, \quad \left(0 < \frac{x}{a} < 4\right).\tag{9}\]

График зависимости скорости шарика от координаты при отражении от стенки можно также

получить «отражением» графика движения в положительном направлении. Можно также «отразить» начальную точку \(A\) (ее «изображение» - \(A'\)) и провести от нее исходный график – отрезок \(A'CD\).

1.2 Для построения требуемого графика проще воспользоваться методом «отражения». До удара о стенку график зависимости является отражением исходного графика относительно прямой \(x = a\) (участок \(AB\)), а после удара – графиком исходной зависимости, сдвинутым влево на величину \(2a\). Можно также отразить начальную точку \(A \to A'\) Часть 2. Оптическая

2.1 Построение хода лучей при отражении в плоском зеркале хорошо известно и комментариев не требует. Изображение будет находится «зеркально симметрично» на расстоянии \(a\) за зеркалом.

2.2 Фотоприемник будет воспринимать свет, исходящий как непосредственно от источника, так и отраженный от зеркала. Если зависимость интенсивности света от расстояния до источника \(r\) имеет вид \(I_0(r)\), то при наличии зеркала суммарная интенсивность описывается функцией

\[I(x) = I_0(x-a) + I_0(x+a).\tag{10}\]

Или, аналогично, если исходная функция зависимости от координаты имеет вид \(I_1(x)\) (представленный графически), то требуемая функция описывается выражением

\[I(x) = I_1(x) + I_1(x+2a).\]

Иными словами: необходимо сместить

исходный график \(AB\) на \(2a\) влево (кривая \(A'B'\)) и сложить их в области перекрытия (результат – кривая \(CD\)).

Обрыв кабеля приводит к тому, что ток перестает течь через место обрыва. Этому же условию можно

удовлетворить, если симметрично относительно места обрыва расположить еще один такой же источник тока, тогда суммарная сила тока в месте обрыва будет равна нулю. Для построения графика зависимости силы тока от координаты необходимо исходный график \(ABC\) сместить влево на \(2a\) (\(A'B'C'\)). Затем в области между источником и точкой обрыва вычесть токи, так как здесь они текут в противоположных направлениях (\(ED\)), а вне этой области их сложить (\(FG\)). Результат такого построения показан на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.