Систематические погрешности электрических схем

Подключённый прибор меняет сопротивление участка цепи: запиши параллельное или последовательное соединение с ним и разложи по малому параметру \(\frac{1}{1+x}\approx1-x\). Для поправки ВАХ вычти из показания амперметра ток через вольтметр.

1.1) \(U_1=U_0\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\), \(\widetilde U_1\approx U_1\left(1-\dfrac{R_1R_2}{r(R_1+R_2)}\right)\);  1.2) \(r>\dfrac{R_1R_2}{\varepsilon_V(R_1+R_2)}=500\) Ом;  2.1) \(R_A<\varepsilon_A r=0{,}10\) Ом;  3.1) \(R_V>\dfrac{R_1R_2}{\varepsilon_V(R_1+R_2)}=500\) Ом;  4.1) \(U=\widetilde U\), \(I=\widetilde I-\widetilde U/R_V\) (в решении \(R_V=2\) кОм).

Часть 1. Погрешность делителя напряжения.

1.1 Расчет напряжений проводится с использованием закона Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводников. Так

\[U_1 = U_0 \frac{R_1}{R_1 + R_2}.\tag{1}\]

Для расчета напряжения при подключении исследуемой цепи \(r\) в формуле (1) сопротивление \(R_1\) заменить сопротивлением \(\widetilde{R}_1\) параллельно соединенных резистора \(R_1\) и исследуемой цепи сопротивлением \(r\). При этом

\[\frac{1}{\widetilde{R}_1} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{r}.\tag{2}\]

Тогда

\[\widetilde{U}_1 = U_0 \frac{\widetilde{R}_1}{\widetilde{R}_1 + R_2} = U_0 \frac{1}{1 + \frac{R_2}{\widetilde{R}_1}} = U_0 \frac{1}{1 + R_2 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{r} \right)} = U_0 \frac{1}{1 + \frac{R_2}{R_1} + \frac{R_2}{r}} = \frac{U_0}{1 + \frac{R_2}{R_1}} \left( 1 + \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} \right)^{-1} \approx \frac{U_0 R_1}{R_1 + R_2} \left( 1 - \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} \right) = U_1 \left( 1 - \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} \right).\tag{3}\]

При выводе учтено, что для малого изменения напряжения должно выполняться условие \(r \gg R_1, R_2\). На сколько это меньше, показывает формула (3), из которой следует, что относительное изменение напряжения равно

\[\varepsilon_V = \left\vert \frac{U_1 - \widetilde{U}_1}{U_1} \right\vert = \frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)}.\tag{4}\]

Указанное изменение напряжение не превысит указанную величину при выполнении условия

\[\frac{R_1 R_2}{r(R_1 + R_2)} < \varepsilon_V \quad \Rightarrow \quad r > \frac{R_1 R_2}{\varepsilon_V (R_1 + R_2)}.\tag{5}\]

При \(R_1 = R_2 = 10\) Ом и \(\varepsilon_V = 0{,}01\)

\[r > 500 \text{ Ом}.\tag{6}\]

Часть 2. Погрешность, вносимая амперметром

2.1 Силы тока в приведенных цепях рассчитываются элементарно:

\[I = \frac{U_0}{r}\]

\[\tilde{I} = \frac{U_0}{r + R_A} \approx \frac{U_0}{r} \left( 1 - \frac{R_A}{r} \right).\tag{6}\]

Таким образом, относительное изменение силы тока при подключении амперметра равно

\[\varepsilon_A = \left\vert \frac{I - \tilde{I}}{I} \right\vert = \frac{R_A}{r}.\tag{7}\]

Указанное требование будет выполнено, при

\[\frac{R_A}{r} < \varepsilon_A \quad R_A < \varepsilon_A r = 0{,}10 \, \text{Ом}.\tag{8}\]

Часть 3. Погрешность, вносимая вольтметром.

3.1 Для решения этой части задачи достаточно заметить, что рассматриваемые здесь схемы полностью эквивалентны схемам, рассмотренным в Части 1. Поэтому можно воспользоваться результатами, полученными в этой части, если сопротивление \(r\) заменить на сопротивление вольтметра \(R_V\). Тогда относительное изменение напряжения не превысит 1% при выполнении условия

\[\frac{R_1 R_2}{R_V (R_1 + R_2)} < \varepsilon_V \quad \Rightarrow \quad R_V > \frac{R_1 R_2}{\varepsilon_V (R_1 + R_2)} = 500 \, \text{Ом}.\tag{9}\]

Часть 4. Корректировка измеренной ВАХ

4.1 В использованной схеме показания вольтметра равны напряжению на исследуемом элементе

\[U = \tilde{U}.\tag{10}\]

Амперметр показывает сумму сил токов через исследуемый элемент и вольтметр:

\[\tilde{I} = I + I_A.\tag{11}\]

Таким образом, для корректировки полученной зависимости необходимо из показаний амперметра вычесть силу тока через амперметр, которая рассчитывается по закону Ома:

\[I = \tilde{I} - \frac{\tilde{U}}{R_V}.\tag{12}\]

Необходимые расчеты и скорректированный график приведены в таблице и на бланке. На этом графике: верхняя кривая – исходный график; нижняя прямая – зависимость силы тока через вольтметр от напряжения, средняя кривая – «истинный» график вольтамперной характеристики исследуемого элемента.

Бланк к задаче 3 (Часть 4)

Таблица 1.

Расчетные формулы

Сила тока через вольтметр: \(I_{V} = \frac{\tilde{U}}{R_{V}}\).

Сила тока через исследуемый элемент \(I_{r} = \tilde{I} - I_{V}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.