Баллон на платформе

Question

Тележка установлена на горизонтальных прямолинейных рельсах и может двигаться по ним без сопротивления. На тележке закреплён сосуд цилиндрической формы, ось которого параллельна рельсам. Длина цилиндра и его радиус равны $L$ и $r$ соответственно. Масса тележки с пустым сосудом равна $M$. Сосуд заполняют идеальным газом массой $m$ при температуре $T_0$. Одно основание сосуда поддерживают при температуре $T_0$. Температура другого основания в начальный момент также равна $T_0$, но затем её медленно увеличивают до величины $T_0 + \Delta T$ (при этом известно, что $\Delta T \ll T_0$). Боковая поверхность сосуда теплоизолирована.

Введём ось $OX$, направив её вдоль оси цилиндра от основания с температурой $T_0 + \Delta T$ к основанию с температурой $T_0$. Пусть начало координат совпадает с основанием цилиндра с температурой $T_0 + \Delta T$. Задачу решайте приближённо, пренебрегая всеми слагаемыми, пропорциональными квадрату малого параметра $\delta T = \dfrac{\Delta T}{T}$ и его старшим степеням. Можно использовать приближённую формулу $(1+x)^n \approx 1 + nx$, справедливую при малых $x$ ($|x| \ll 1$).

[a)] Определите зависимость плотности газа в цилиндре от координаты $\rho(x)$.
[b)] Найдите смещение тележки $d$ относительно начального положения.

Accepted Answer

a) $\rho(x) = \dfrac{m}{\pi r^2 L}\left(1 + \dfrac{2x - L}{2L}\,\delta T\right)$; b) $d = \dfrac{m}{M+m}\cdot\dfrac{L}{12}\,\delta T$.

Баллон на платформе

Похожие задачи