Деление токов и деление напряжений

Для делителя тока используйте правило параллельного соединения и выберите переменные так, чтобы зависимость стала линейной; для вольтметра с конечным сопротивлением запишите напряжение на параллельном участке.

1.1) \(I_0=U_0/R_0\); 1.2) \(I_1=I_0\dfrac{x}{l+x}\); 1.3) \(R_0=(9{,}30\pm0{,}05)\) Ом; 1.7) \(Y=I_0/I_1\), \(X=l/x\), \(Y=1+X\); опыт: \(a=1{,}11\pm0{,}02\), \(b=0{,}94\pm0{,}01\), теория: \(a=b=1\); 2.2) \(U_n=\dfrac{n}{5}U_S\); 2.3) конечное сопротивление стрелочного вольтметра; 2.4) \(\dfrac{U_S}{U_n}=\dfrac5n+(5-n)\dfrac{R}{R_V}\).

Часть 1. Делитель тока.

1.1 По закону Ома

\[I_0 = \frac{U_0}{R_0}.\tag{1}\]

1.2 Из законов параллельного и последовательного соединения проводников можно записать

\[I_1 l = (I_0 - I_1) x.\tag{2}\]

Из этого выражения следует, что

\[I_1 = I_0 \frac{x}{l + x}.\tag{3}\]

1.3 Сопротивление постоянного резистора равно

\[R_0 = (9{,}30 \pm 0{,}05) \, \text{Ом}\tag{4}\]

1.4 Длина участка проволоки равна

\[l = (10{,}0 \pm 0{,}5) \, \text{см}.\tag{5}\]

1.5 Результаты измерений зависимости напряжения \(U_0\) и силы тока \(I_1\) от длины участка \(BE\) - \(x\) приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

1.6 График зависимости отношения сил токов \(I_1 / I_0\) от длины участка проволоки \(x\) показан на рисунке.

1.7 Теоретическая зависимость, описывающая эту кривую, определяется формулой (3), которая допускает простую линеаризацию

\[\frac{I_0}{I_1} = 1 + \frac{l}{x}.\tag{6}\]

Расчеты введенных переменных \(Y = \frac{I_0}{I_1}\) и \(X = \frac{l}{x}\) приведены в Таблице 1. График этой линеаризованной зависимости показан на рисунке.

1.8 Коэффициенты линеаризованной зависимости, рассчитанные по МНК, равны

\[\begin{aligned} a &= 1{,}11 \pm 0{,}02 \\ b &= 0{,}94 \pm 0{,}01 \end{aligned}.\tag{7}\]

1.9 Из формулы (6) следует, что теоретические значения этих коэффициентов равны \(a = b = 1\).

1.10 Полученные экспериментальные значения достаточно близки к теоретическим. Основной причиной полученных различий являются: - погрешности измерений (прежде всего силы тока); - систематические погрешности, связанные с неучтенными сопротивлениями проводов и контактов.

Часть 2. Делитель напряжения.

2.1 Результаты требуемых измерений приведены в Таблице 2.

Таблица 2.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

2.2 Собственное сопротивление мультиметра значительно превышает сопротивления резисторов, поэтому его можно считать бесконечно большим. В этом случае напряжение источника поровну «делится» между резисторами, поэтому теоретическая формула для напряжения, измеренного мультиметром, имеет примитивный вид

\[U_n = \frac{n}{5} U_S.\tag{8}\]

Измеренное значение напряжения источника \(U_S = 8{,}9\) В, поэтому коэффициент наклона линейной зависимости должен быть равен \(\frac{\Delta U}{\Delta n} = 1{,}78\), что хорошо совпадает с экспериментальным значением.

2.3 Основной причиной различия результатов измерений, проведенных разными приборами, является конечное сопротивление вольтметра \(R_V\), считать которое бесконечно большим в данном случае нельзя.

2.4 Рассчитаем значение напряжения на вольтметре, если его сопротивление равно \(R_{V}\). Будем считать, что напряжение источника остается постоянным. В этом случае измеряемое напряжение описывается функцией

\[U_{n} = U_{S} \frac{R_{x}}{(5-n)R + R_{x}},\tag{9}\]

где \(n\) - число резисторов, на которых измеряется напряжение, \(R\) - сопротивление одного резистора;

\[R_{x} = \frac{nRR_{V}}{nR + R_{V}}.\tag{10}\]

сопротивление параллельно соединенных вольтметра и \(n\) резисторов. Преобразуем формулу (9), чтобы привести ее к линейной зависимости:

\[\frac{U_{S}}{U_{n}} = 1 + (5-n)\frac{R}{R_{x}} = 1 + (5-n)\frac{R}{nRR_{V}}(nR + R_{V}) = \frac{5}{n} + (5-n)\frac{R}{R_{V}}.\tag{11}\]

Интересно отметить, что при \(R_{V} \gg R\) формула (11) переходит в формулу (8). Из соотношения (11) следует, что величина \(Y = \frac{U_{S}}{U_{n}} - \frac{5}{n}\) пропорциональна величине \(X = 5-n\).

В последних столбцах Таблицы 2 приведены рассчитанные значения этих величин. График зависимости между ними показан на рисунке и подтверждает проведенные теоретические построения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.