Нагревание насосом

Проталкивая порцию \(d\nu\) в сосуд при постоянном давлении, насос совершает работу \(p\,dV = RT_0\,d\nu\). Запишите первое начало для всего газа, оказавшегося в сосуде, и уравнения состояния в начале и в конце.

Пусть \(V\) — объём сосуда, \(\nu_0\) — начальное количество вещества в сосуде, а \(\Delta\nu\) — количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания: \[p_0V = \nu_0RT_0, \qquad p_1V = (\nu_0 + \Delta\nu)RT_1.\] Пусть давление воздуха внутри насоса равняется \(p_\text{в}\), а \(dV_\text{в}\) — объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества \(d\nu\) внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу \(\delta A_\text{н}\), равную: \[\delta A_\text{н} = p_\text{в}\,dV_\text{в}.\] Но из уравнения Менделеева–Клапейрона \(p_\text{в}\,dV_\text{в} = RT_0\,d\nu\), поэтому: \[\delta A_\text{н} = RT_0\,d\nu.\] Таким образом, полная механическая работа насоса \(A_\text{н}\) составляет: \[A_\text{н} = \Delta\nu RT_0.\] Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначально находившегося в сосуде газа и закачанного в него насосом: \[A_\text{н} + U_0 + U_1 = U_\text{к}.\] Здесь \(U_0 = \nu_0C_VT_0\) — начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, \(U_1 = \Delta\nu C_VT_0\) — сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, а \(U_\text{к} = (\nu_0 + \Delta\nu)C_VT_1\) — конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна \(C_V = 5R/2\). Отсюда: \[\Delta\nu RT_0 + \frac{5\nu_0RT_0}{2} + \frac{5\Delta\nu RT_0}{2} = \frac{5(\nu_0 + \Delta\nu)RT_1}{2}.\] Таким образом: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{5\nu_0 + 7\Delta\nu}{5(\nu_0 + \Delta\nu)} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{(\nu_0 + \Delta\nu)} \;\Rightarrow\; \frac{\Delta\nu}{\nu_0} = \frac57\left(\frac{p_1}{p_0} - 1\right).\] Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = 1 + \frac{\Delta\nu}{\nu_0},\] откуда: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \frac27 + \frac{5p_1}{7p_0}.\] Для отношения температур \(T_1/T_0\) имеем: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{\nu_\text{к}}.\] Таким образом: \[T_1 = \frac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}.\]