Несколько опытов со шприцом

Капля отрывается, когда сила тяжести сравнивается с силой поверхностного натяжения; в частях 3–4 воздух в шприце — идеальный газ, а пары и охлаждение дают измеримые поправки.

Что происходит. Во всех опытах работают одни и те же физические идеи, а измеряются лишь счёт капель, пузырьков и показания шкалы шприца. Капля отрывается, когда её вес сравнивается с силой поверхностного натяжения на шейке; пузырёк — когда сила Архимеда сравнивается с той же силой. Коэффициент поверхностного натяжения воды падает с температурой, поэтому в горячей воде и капли, и пузырьки меньше. В опытах 3–4 воздух в шприце — смесь сухого воздуха и насыщенного водяного пара, и пар вносит заметную поправку: из-за неё «абсолютный нуль» получается совсем не \(-273\,^\circ\)C, а давление пара можно оценить, пересчитывая баланс воздуха.

Данные. В условии нет результатов измерений: ученик снимает их сам. Ниже приведены условные данные измерений — пример обработки с реалистичными числами; метод и формулы от чисел не зависят. Атмосферное давление в примере \(P_0=99{,}5\) кПа, комнатная температура \(t_{\text{к}}=20\,^\circ\)C. Значения \(\sigma\) воды и давления насыщенного пара взяты из таблиц только для сверки результата.

Часть 1. Капли.

Как измерять. Весов нет, поэтому массу капли находим по объёму: в шприце наполовину налита вода, поршень нажимаем медленно, чтобы капли падали по одной. Считаем число капель \(N\), пока показания шкалы шприца уменьшатся на \(\Delta V=5{,}0\) мл (шкала — с ценой деления 1 мл, отсчёт \(\pm0{,}1\) мл). Масса одной капли \[m=\frac{\rho\,\Delta V}{N},\] где \(\rho\) — плотность воды при её температуре (из таблицы; при требуемой точности можно взять \(\rho_0\)). Температуру воды измеряют электронным термометром, горячую воду держат в калориметре, чтобы она не остыла за время опыта. Шприц предварительно прогревают — иначе вода в нём остынет.

1.1. Результаты (пример).

• холодная вода, \(t=20\,^\circ\)C: \(N=102\) капли, \(m=\dfrac{0{,}998\cdot5{,}0\ \text{г}}{102}=0{,}049\) г;
• горячая вода, \(t=65\,^\circ\)C: \(N=114\) капель, \(m=\dfrac{0{,}981\cdot5{,}0\ \text{г}}{114}=0{,}043\) г.

Погрешность: отсчёт объёма \(0{,}1/5{,}0=2\,\%\), счёт капель \(\pm1\) из 100 — \(1\,\%\), вместе около \(2{,}5\,\%\) (т.е. \(\pm0{,}001\) г).

1.2. Объяснение. В момент отрыва вес капли уравновешен силой поверхностного натяжения, действующей по контуру шейки диаметром \(d\) (рисунок): \(mg\approx\pi d\,\sigma\). Из опыта получаем \(d=\dfrac{mg}{\pi\sigma}\); с \(\sigma_{20}=0{,}0728\) Н/м и \(\sigma_{65}=0{,}0645\) Н/м находим \(d\approx2{,}1\) мм в обоих опытах — это размер носика шприца, и он не зависит от температуры. Значит, различие масс (на 12 %) объясняется именно уменьшением \(\sigma\) при нагревании: \(m_{65}/m_{20}=0{,}88\approx\sigma_{65}/\sigma_{20}=0{,}89\). Масса капли зависит от: коэффициента поверхностного натяжения (то есть от температуры, чистоты воды, примесей), размера и смачиваемости носика (диаметра шейки), и мало — от скорости образования (при медленном нажатии).

Часть 2. Пузырьки.

Как измерять. Шприц с водой держим вертикально носиком вниз, медленно выдвигаем поршень и считаем число пузырьков \(N\), вошедших в шприц, пока объём внутри увеличился на \(\Delta V=2{,}0\) мл. Воздух входит при давлении почти равном атмосферному, и весь добавленный объём — это объём пузырьков, поэтому \[v=\frac{\Delta V}{N}.\] 2.1. Результаты (пример). \(t=20\,^\circ\)C: \(N=41\), \(v=\dfrac{2{,}0}{41}=0{,}049\) мл; \(t=65\,^\circ\)C: \(N=46\), \(v=\dfrac{2{,}0}{46}=0{,}043\) мл. Погрешность около \(5\,\%\) (отсчёт объёма \(0{,}1/2{,}0\)).

2.2. Объяснение. Пузырёк отрывается, когда сила Архимеда \(\rho gv\) сравнивается с силой поверхностного натяжения по шейке: \(\rho gv\approx\pi d\sigma\), отсюда \(v=\dfrac{\pi d\sigma}{\rho g}\). С \(d=2{,}1\) мм из части 1: \(v_{20}=\dfrac{\pi\cdot2{,}1\cdot10^{-3}\cdot0{,}0728}{998\cdot9{,}81}\approx0{,}049\) мл, \(v_{65}\approx0{,}044\) мл — совпало с опытом. Объём пузырька зависит от \(\sigma\) (температура, чистота воды), диаметра отверстия, глубины (давление), и слабо — от скорости вытягивания поршня.

Часть 3. Давление насыщенного пара.

Идея. Горячая вода в шприце насыщает воздух паром. Пока вода остывает, пар конденсируется, давление внутри падает ниже атмосферного, и внешний воздух входит в шприц пузырьками. Входит ровно столько воздуха, сколько нужно, чтобы давление снова стало атмосферным: подсчёт этого воздуха и даёт давление пара.

Как измерять. Берём \(V_{\text{в}}=10{,}0\) мл горячей воды (\(t_{\text{г}}=62\,^\circ\)C, термометр в калориметре с водой) и столько же воздуха, \(V=10{,}0\) мл, поршень закрепляем (воздух входит снизу). Считаем пузырьки, пока вода остывает до комнатной температуры \(t_{\text{к}}=20\,^\circ\)C; затем записываем конечный объём воздуха.

3.1. Результаты (пример). Вошло \(n=64\) пузырька (по 0,049 мл — из части 2 для холодной воды, где они образовались). Объём воздуха по шкале в конце — тот же, \(V=10{,}0\) мл, с точностью отсчёта \(\pm0{,}3\) мл. Так и должно быть: поршень закреплён, воды в шприце столько же (она остыла и сжалась на 1,5 %, то есть на \(0{,}15\) мл, что меньше погрешности отсчёта), вытекать ей некуда. Объём воздуха не изменился, но воздуха — количество вещества — стало больше за счёт вошедших пузырьков: суммарно пузырьки при атмосферном давлении занимали \(nv=64\cdot0{,}049=3{,}1\) мл.

3.2. Давление пара. Составим баланс воздуха (сухого). Вначале газ над водой — смесь воздуха и насыщенного пара при давлении \(P_0\) и температуре \(T_{\text{г}}\); парциальное давление воздуха \(P_0-P_{\text{н}}\), где \(P_{\text{н}}\) — искомое давление пара. Уравнение состояния для воздуха: \[\nu_1=\frac{(P_0-P_{\text{н}})\,V}{RT_{\text{г}}}.\] В конце вода холодная, давлением пара по условию пренебрегаем, и в том же объёме \(V\) воздух при давлении \(P_0\) (внутри и снаружи давления выравнялись): \[\nu_2=\frac{P_0V}{RT_{\text{к}}}.\] Добавился воздух, вошедший пузырьками: каждый имел объём \(v\) при давлении \(P_0\) и температуре \(T_{\text{к}}\), всего \(nv\): \[\nu_2-\nu_1=\frac{P_0\,nv}{RT_{\text{к}}}.\] Подставляем и находим \[\frac{P_0V}{RT_{\text{к}}}-\frac{(P_0-P_{\text{н}})V}{RT_{\text{г}}}=\frac{P_0nv}{RT_{\text{к}}} \quad\Rightarrow\quad P_{\text{н}}=P_0\left[1-\Bigl(1-\frac{nv}{V}\Bigr)\frac{T_{\text{г}}}{T_{\text{к}}}\right].\] Числа: \(\dfrac{nv}{V}=0{,}31\), \(\dfrac{T_{\text{г}}}{T_{\text{к}}}=\dfrac{335{,}2}{293{,}2}=1{,}143\): \[P_{\text{н}}=99{,}5\cdot\bigl[1-0{,}69\cdot1{,}143\bigr]\approx21\ \text{кПа}.\] Погрешность. Вклады: число пузырьков (\(\pm3\) из 64) и их объём (\(\pm5\,\%\)), отсчёт объёма воздуха (\(\pm0{,}3\) мл из 10), температуры (\(\pm0{,}5\) К). По правилу сложения случайных погрешностей получаем \(P_{\text{н}}=21\pm3\) кПа (с коэффициентом 2). Табличное значение при 62 \(^\circ\)C — около 22 кПа, то есть в пределах погрешности.

Часть 4. «Абсолютный нуль температуры».

Как измерять. Берём \(V_1=12{,}0\) мл воздуха и немного горячей воды (\(t_1=62\,^\circ\)C). Опускаем носик шприца в холодную воду (\(t_2=18\,^\circ\)C) и ждём, пока шприц остынет: вода из стакана поднимается в шприце. Объём воздуха \(V_2\) по шкале после остывания: \(V_2=8{,}3\) мл. Атмосферное давление за время опыта постоянно, а внутри его уравнивает входящая вода — процесс изобарный.

4.1. Расчёт. Если считать, что весь газ в шприце — идеальный газ при постоянном давлении (закон Гей-Люссака), то объём линейно зависит от температуры в градусах Цельсия: \(V=V_0\,(1+\alpha t)\), а он обращается в нуль при \(t_0=-1/\alpha\). Проведём через две точки \((t_1,V_1)\) и \((t_2,V_2)\) прямую и найдём её пересечение с осью \(t\): \[\frac{V_2}{V_1}=\frac{t_2-t_0}{t_1-t_0}\quad\Rightarrow\quad t_0=\frac{V_2t_1-V_1t_2}{V_2-V_1}=\frac{8{,}3\cdot62-12{,}0\cdot18}{8{,}3-12{,}0}\approx-81\,^\circ\text{C}.\] Погрешность большая, потому что два объёма близки: \(\Delta t_0\approx\pm10\,^\circ\)C (\(\Delta V=0{,}1\) мл, \(\Delta t=0{,}5\) К). Результат, конечно, не \(-273\,^\circ\)C.

4.2. Качественное объяснение. Закон Гей-Люссака верен для постоянного количества газа при постоянном давлении, а у нас газ — смесь воздуха и пара. В горячем шприце над водой много насыщенного пара (\(\approx21\) кПа при 62 \(^\circ\)C, около 20 % общего давления), при остывании он конденсируется и перестаёт занимать объём; на объём это ложится как дополнительное сжатие. Поэтому объём падает быстрее, чем у идеального газа с постоянным количеством вещества, и прямая пересекает ось \(t\) слишком близко: \(-81\,^\circ\)C. Кроме того, температура воздуха внутри шприца не равна температуре воды снаружи, особенно сразу после погружения.