Магнитная вязкость

Вязкая магнитная сила пропорциональна скорости, поэтому шарик в наклонной трубке движется равномерно; скорость линейно растёт с высотой подъёма. Для трубочки добавьте трение и линеаризуйте через \(V/\cos\alpha\) и \(\operatorname{tg}\alpha\).

1.1) \(V=L/t\); 1.4) формула (1) применима, трением пренебречь нельзя; 1.5) \(\dfrac{F_0}{mg}=\dfrac{V_0}{KL}\approx2{,}4\cdot10^{-2}\); 2.2) \(Y=\dfrac{V}{\cos\alpha}\), \(X=\operatorname{tg}\alpha\), \(\mu=-b/a\); 2.4) \(\mu=0{,}30\pm0{,}05\); 3.2) \(\gamma\approx\dfrac12\) (из графика \(\gamma=0{,}56\pm0{,}09\)).

Что происходит. Магнит, движущийся в алюминиевой трубке, наводит в стенках вихревые токи, и эти токи тормозят его силой, пропорциональной скорости. Сила тяжести вдоль трубки постоянна, сила торможения растёт со скоростью, поэтому очень быстро наступает равновесие — шарик едет с постоянной скоростью, как и сказано в примечании. Измеряя эту скорость при разных наклонах, мы сравниваем «вдоль-трубочную» часть силы тяжести с силой вязкости и находим \(\beta\) и коэффициент трения.

Обозначения. \(L=50{,}0\) см — длина трубки; \(\alpha\) — её угол с горизонтом, \(\sin\alpha=h/L\); \(t\) — время движения по трубке; \(V\) — скорость; \(m\) — масса одного шарика; \(\beta\) — коэффициент вязкости (1). Ниже приведён пример измерений и обработки: числа взяты из решения организаторов, у вас они будут другими, но метод тот же.

Часть 1. Скатывание.

1.1. Движение равномерное, шарик проходит всю трубку длиной \(L\) за время \(t\): \[V=\frac{L}{t}. \tag{4}\]

1.2. Опыт и график. Порядок такой: устанавливаем нужную высоту \(h\) (линейкой 4 измеряем высоту верхнего края деревянной линейки над столом), опускаем шарик в верхний конец и секундомером измеряем время выхода из нижнего (под ним — стакан). На каждой высоте — 5 измерений, берём среднее \(\bar t\) и считаем \(V=L/\bar t\). Высоты берём примерно от 10 до 22 см: ниже шарик может остановиться из-за трения, выше он едет слишком быстро для точного замера времени.

\[\begin{array}{|c|ccccc|c|c|}\hline h,\ \text{см} & t_1 & t_2 & t_3 & t_4 & t_5 & \bar t,\ \text{с} & V,\ \text{см/с}\\ \hline 10{,}2 & 8{,}63 & 8{,}70 & 8{,}65 & 8{,}61 & 8{,}62 & 8{,}642 & 5{,}79 \\ 12{,}4 & 6{,}45 & 6{,}60 & 6{,}47 & 6{,}46 & 6{,}45 & 6{,}486 & 7{,}71 \\ 14{,}5 & 4{,}97 & 5{,}04 & 5{,}09 & 4{,}92 & 5{,}09 & 5{,}022 & 9{,}96 \\ 16{,}8 & 4{,}38 & 4{,}64 & 4{,}51 & 4{,}32 & 4{,}48 & 4{,}466 & 11{,}20 \\ 19{,}1 & 3{,}64 & 3{,}69 & 3{,}77 & 3{,}66 & 3{,}72 & 3{,}696 & 13{,}53 \\ 22{,}4 & 3{,}08 & 3{,}11 & 3{,}10 & 3{,}12 & 3{,}14 & 3{,}110 & 16{,}08 \\ \hline\end{array}\]

1.3. Погрешность скорости (для \(h=12{,}4\) см). Время — прямое измерение. Оценка по серии из \(N=5\) измерений (с коэффициентом 2, примерно доверительная вероятность 95 %): \[\Delta t=2\sqrt{\frac{\sum_k(t_k-\langle t\rangle)^2}{N(N-1)}}=0{,}057\ \text{с},\qquad \varepsilon_t=\frac{\Delta t}{\bar t}=\frac{0{,}057}{6{,}486}=0{,}9\,\%.\] Длина трубки измерена с точностью 0,1 мм: \(\varepsilon_L=0{,}02\,\%\), это много меньше \(\varepsilon_t\) и не учитывается. Так как \(V=L/t\), относительная погрешность скорости та же, и \[\Delta V=\varepsilon_t V=0{,}009\cdot7{,}71\approx0{,}07\ \frac{\text{см}}{\text{с}}.\]

1.4. Применима ли формула (1) и можно ли пренебречь трением. Шарик движется равномерно, значит, силы вдоль трубки уравновешены. Если действует только сила вязкости (1), то из второго закона Ньютона в проекции на трубку \[\beta V=mg\sin\alpha=mg\,\frac hL . \tag{5}\] То есть \(V\) должна быть прямо пропорциональна \(h\). На графике точки действительно ложатся на прямую — формула (1) применима. Но прямая не проходит через начало координат: при \(h\approx3\) см скорость обращается в нуль, при меньших \(h\) шарик вообще не движется. Это сила трения (качения, о стенки трубки): с ней \(\beta V=mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}\). Сдвиг \(V_c=-2{,}6\) см/с — это 20–45 % от измеренных скоростей, поэтому пренебречь трением нельзя.

1.5. Отношение \(F_0/(mg)\). Из (5) наклон графика равен \(K=\dfrac{mg}{\beta L}\) (постоянная сила трения сдвигает прямую, но не меняет наклон, поэтому берём именно наклон). Тогда \[\beta=\frac{mg}{KL}\quad\Rightarrow\quad \frac{F_0}{mg}=\frac{\beta V_0}{mg}=\frac{V_0}{KL}=\frac{1{,}0}{0{,}84\cdot50}\approx2{,}4\cdot10^{-2}.\] Наклон \(K=0{,}84\pm0{,}05\) с\(^{-1}\) получен по МНК (погрешность с коэффициентом 2 как в 1.3), так что \(F_0/(mg)=(2{,}4\pm0{,}2)\cdot10^{-2}\). Это значит, что при скорости 1 см/с сила вязкости составляет всего 2 % от веса шарика.

Часть 2. Соскальзывание двух шариков.

2.1–2.2. Линеаризация. Теперь трубочка с шариками соскальзывает с трением о алюминиевую трубку. Эксперимент — как в части 1, высоты берём побольше (25–45 см), потому что трение удерживает трубочку на малых наклонах. Равномерное движение (второй закон Ньютона в проекции на трубку; \(N=mg\cos\alpha\) — по нормали к трубке): \[\beta V=mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha ,\qquad\text{или}\qquad \frac{V}{\cos\alpha}=\frac{mg}{\beta}\,(\operatorname{tg}\alpha-\mu). \tag{6}\] Здесь \(m\) — масса трубочки с шариками, \(\beta\) — вязкость для этих двух шариков. Обратите внимание: углы большие (\(\sin\alpha\) до 0,9), поэтому \(\cos\alpha\ne1\) и малыми углами пользоваться нельзя. Из (6) видна линеаризация (2): \[Y=\frac{V}{\cos\alpha},\qquad X=\operatorname{tg}\alpha,\qquad a=\frac{mg}{\beta},\qquad b=-a\mu .\] Тригонометрические функции считаем по измеренной высоте: \[\sin\alpha=\frac hL,\quad \cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha},\quad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.\]

\[\begin{array}{|c|ccccc|c|c|}\hline h,\ \text{см} & t_1 & t_2 & t_3 & t_4 & t_5 & \bar t,\ \text{с} & V,\ \text{см/с}\\ \hline 25{,}5 & 5{,}60 & 5{,}78 & 5{,}44 & 5{,}61 & 5{,}74 & 5{,}634 & 8{,}87 \\ 26{,}7 & 5{,}41 & 5{,}61 & 5{,}48 & 5{,}41 & 5{,}54 & 5{,}490 & 9{,}11 \\ 29{,}5 & 4{,}02 & 3{,}86 & 3{,}91 & 4{,}05 & 3{,}99 & 3{,}966 & 12{,}61 \\ 35{,}8 & 2{,}79 & 2{,}58 & 2{,}60 & 2{,}78 & 2{,}69 & 2{,}688 & 18{,}60 \\ 40{,}2 & 2{,}19 & 2{,}13 & 2{,}29 & 2{,}19 & 2{,}07 & 2{,}174 & 23{,}00 \\ 44{,}7 & 1{,}84 & 1{,}90 & 1{,}87 & 1{,}84 & 1{,}86 & 1{,}862 & 26{,}85 \\ \hline\end{array}\] \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline h,\ \text{см} & V,\ \text{см/с} & \sin\alpha & \cos\alpha & X=\operatorname{tg}\alpha & Y=V/\cos\alpha,\ \text{см/с}\\ \hline 25{,}5 & 8{,}87 & 0{,}510 & 0{,}860 & 0{,}593 & 10{,}3 \\ 26{,}7 & 9{,}11 & 0{,}534 & 0{,}845 & 0{,}632 & 10{,}8 \\ 29{,}5 & 12{,}61 & 0{,}590 & 0{,}807 & 0{,}731 & 15{,}6 \\ 35{,}8 & 18{,}60 & 0{,}716 & 0{,}698 & 1{,}026 & 26{,}6 \\ 40{,}2 & 23{,}00 & 0{,}804 & 0{,}595 & 1{,}352 & 38{,}7 \\ 44{,}7 & 26{,}85 & 0{,}894 & 0{,}448 & 1{,}995 & 59{,}9 \\ \hline\end{array}\]

2.3. Значение \(\mu\) по графику. Из (6) \(Y=0\) при \(X=\mu\): коэффициент трения — координата пересечения прямой с осью \(X\), \(\mu\approx0{,}30\).

2.4. Точный расчёт и погрешность. Коэффициенты прямой находим по МНК: \[a=(35{,}8\pm1{,}5)\ \frac{\text{см}}{\text{с}},\qquad b=-(10{,}8\pm1{,}7)\ \frac{\text{см}}{\text{с}}.\] Тогда \(\mu=-b/a=0{,}30\), а относительные погрешности складываются как независимые: \[\Delta\mu=\mu\sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2+\left(\frac{\Delta b}{b}\right)^2}=0{,}30\sqrt{0{,}042^2+0{,}157^2}\approx0{,}05,\] \[\mu=0{,}30\pm0{,}05\quad(\varepsilon\approx16\,\%).\] Основной вклад даёт \(b\): пересечение с осью \(X\) определено хуже, чем наклон.

Часть 3. Зависимость силы от числа магнитов.

3.1. Опыт. Высота верха трубки около 30 см, число шариков \(n=1\ldots5\) в пластиковой трубочке, по 5 измерений времени.

\[\begin{array}{|c|ccccc|c|c|c|c|}\hline n & t_1 & t_2 & t_3 & t_4 & t_5 & \bar t,\ \text{с} & V,\ \text{см/с} & \ln n & \ln V\\ \hline 1 & 4{,}62 & 4{,}54 & 4{,}50 & 4{,}56 & 4{,}50 & 4{,}544 & 11{,}0 & 0{,}000 & 2{,}398 \\ 2 & 3{,}69 & 3{,}71 & 3{,}74 & 3{,}75 & 3{,}70 & 3{,}718 & 13{,}4 & 0{,}693 & 2{,}599 \\ 3 & 3{,}08 & 3{,}04 & 3{,}10 & 3{,}04 & 3{,}10 & 3{,}072 & 16{,}3 & 1{,}099 & 2{,}790 \\ 4 & 2{,}57 & 2{,}55 & 2{,}46 & 2{,}51 & 2{,}48 & 2{,}514 & 19{,}9 & 1{,}386 & 2{,}990 \\ 5 & 2{,}29 & 2{,}21 & 2{,}27 & 2{,}25 & 2{,}20 & 2{,}244 & 22{,}3 & 1{,}609 & 3{,}104 \\ \hline\end{array}\]

3.2. Показатель \(\gamma\). Уравнение равномерного движения трубочки: вязкая сила \(\beta_1n^{\gamma}V\) уравновешивает составляющую силы тяжести минус трение, обе пропорциональны числу шариков (массой самой трубочки пренебрегаем): \(\beta_1n^{\gamma}V=nmg\,(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\). Отсюда \[V=A\,n^{1-\gamma},\qquad A=\frac{mg\,(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)}{\beta_1}.\] Корневой вид графика \(V(n)\) подсказывает \(1-\gamma=\tfrac12\), то есть \(\gamma\approx\tfrac12\). Точнее — прологарифмировать: \(\ln V=(1-\gamma)\ln n+\ln A\), и по наклону прямой в координатах \(\ln n\), \(\ln V\) найти показатель.

По МНК наклон равен \(1-\gamma=0{,}44\pm0{,}09\), откуда \(\gamma=0{,}56\pm0{,}09\). Предположение \(\gamma=1/2\) укладывается в погрешность — сила магнитной вязкости растёт с числом магнитов медленнее, чем их число (\(n^{1/2}\) при \(n^1\) у силы тяжести).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.