Вытекание

Задача 2, часть 1 сводится к равноускоренному движению с \(a_z=+g\). Энергетический подход даёт \(h_0\) и \(v_z(z)\); время полуподъёма находится через уравнение \(z(t)\) при \(z=h_0/2\), а показатели степеней — из размерностей.

Часть 1. Бросок

Шарик движется равноускоренно с ускорением свободного падения \(\vec g\), направленным вертикально вниз. Если высота подъема шарика равна \(h\), то введенная координата шарика равна \[z=h_0-h.\qquad (1)\]

1.1 Максимальную высоту подъема проще всего выразить из закона сохранения энергии \[\frac{mv_0^2}{2}=mgh_0.\qquad (2)\] Из этой формулы получаем: \[h_0=\frac{v_0^2}{2g}.\qquad (3)\]

1.2 Проекции ускорения и начальной скорости на введенную ось \(z\) равны \[a_z=+g,\qquad v_{0z}=-v_0.\qquad (4)\]

1.3 Зависимость скорости шарика от его координаты легко выразить из закона сохранения энергии \[\frac{mv_0^2}{2}=mgh_0=\frac{mv^2}{2}+mgh.\qquad (5)\] Из которого следует (с учетом знака проекции), что \[v_z(z)=-\sqrt{2g(h_0-h)}=-\sqrt{2gz}.\qquad (6)\]

1.4 Из формулы (5) выразим \[mgh_0=\frac{mv^2}{2}+mgh\quad\Rightarrow\quad h=h_0-\frac{v^2}{2g}.\qquad (7)\] Так как движение шарика является равноускоренным, то зависимость скорости от времени описывается функцией \[v=v_0-gt.\qquad (8)\] Поэтому зависимость координаты \(z(t)\) имеет вид \[z(t)=h_0-h=\frac{v^2}{2g}=\frac{(v_0-gt)^2}{2g}.\qquad (9)\]

Примечание. Все формулы этой части могут быть получены чисто «кинематически», используя законы равноускоренного движения. При таком подходе проще всего использовать известную формулу \(\Delta x=\dfrac{v^2-v_0^2}{2a}\).

1.5 График функции (9) показан на рисунке. Кривая является параболой. На графике обозначено \(h_0=\dfrac{v_0^2}{2g}\) – начальная и конечная координата шарика; \(\tau=\dfrac{v_0}{g}\) – время подъема шарика.

1.6 Значения показателей степеней могут легко быть найдены, используя метод размерностей \[\alpha=\frac{1}{2},\qquad \beta=-\frac{1}{2}.\qquad (10)\] То есть формула для искомого времени имеет вид \[\tau_{0,5}=C\sqrt{\frac{h_0}{g}}.\qquad (11)\]

1.7 Для расчета значения коэффициента \(C\) подставим выражение (11) для времени и формулу \(v_0=\sqrt{2gh_0}\) для начальной скорости в уравнение (9): \[z=\frac{(v_0-gt)^2}{2g}\quad\Rightarrow\quad 2g\frac{h_0}{2}=\left(\sqrt{2gh_0}-gC\sqrt{\frac{h_0}{g}}\right)^2\quad\Rightarrow\quad 1=\left(\sqrt{2}-C\right)^2.\] Из этого уравнения находим два возможных значения коэффициента \(C\): \[C_{1,2}=\sqrt{2}\pm 1.\qquad (13)\] Два корня имеют физический смысл: шарик находится на половине высоты дважды – при подъеме и при спуске. По смыслу задачи необходимо выбрать меньший корень, поэтому \[C=\sqrt{2}-1.\qquad (14)\]

Примечание. Результаты могут быть получены и с помощью непосредственного решения уравнения (9) без перехода к безразмерным параметрам.

Часть 2. Дырявый сосуд

2.1 Рассмотрим процесс вытекания за малый промежуток времени \(\Delta t\). Пусть за это время уровень воды в сосуде изменился от \(z\) до \(z-\Delta z\). Поэтому потенциальная энергия воды в сосуде уменьшилась на величину \[\Delta U=\Delta mgz,\qquad (15)\] где \(\Delta m\) – масса воды, вытекшей из сосуда за рассматриваемый промежуток времени. Такая же масса воды протекла через отверстие, унося кинетическую энергию \[\Delta E_k=\frac{\Delta mv_1^2}{2}.\qquad (16)\] Так как площадь поперечного сечения сосуда значительно больше диаметра отверстия, то кинетической энергией воды, находящейся в сосуде, можно пренебречь. На основании закона сохранения механической энергии можно записать \[\frac{\Delta mv_1^2}{2}=\Delta mgz.\qquad (17)\] Откуда следует, что скорость вытекания воды из отверстия равна \[v_1=\sqrt{2gz}.\qquad (18)\]

2.2 Изменение объема воды в сосуде равно объему вытекшей воды, поэтому \[SV\Delta t=s_1v_1\Delta t,\qquad (19)\] где \(S\), \(s_1\) – площади поперечного сечения сосуда и отверстия, соответственно. Из формулы (19) следует, что \[V=\frac{s_1}{S}v_1.\qquad (20)\] Учитывая, что отношение площадей равно квадрату отношения диаметров, используя формулу (18) получим зависимость скорости опускания от высоты \[V(z)=\left(\frac{d}{D}\right)^2v_1=\eta^2\sqrt{2gz}.\qquad (21)\] С учетом направления оси \(z\), запишем искомую зависимость проекции этой скорости от высоты \[V_z(z)=-\sqrt{2\left(\eta^4g\right)z}.\]

2.3 Функция (21) полностью аналогична зависимости (6), полученной для равноускоренного движения шарика в поле тяжести земли, если заменить величину \(g\) на модифицированное значение \(\eta^4g\). Кроме того, для этих зависимостей одинаковы начальные условия (при \(t=0\) \(z=h_0\)), поэтому законы движения также полностью аналогичны! Следовательно, далее можно использовать все формулы, полученные для движения шарика (не забывая в них изменить значение ускорения). Так ускорение уровня воды равно \[a_z=+\eta^4g.\qquad (22)\]

2.4 С помощью найденной аналогии на основании формулы (9) запишем закон движение границы \[z(t)=\frac{\left(V_0-\eta^4gt\right)^2}{2\eta^4g}.\qquad (23)\] Начальная скорость движения определяется формулой (21), поэтому закон движения уровня воды имеет вид \[z(t)=\frac{\left(\sqrt{2\eta^4gh_0}-\eta^4gt\right)^2}{2\eta^4g}.\qquad (23)\]

2.5 Время «полувытекания» найдем с помощью формулы (11) и найденным значением коэффициента (14) \[\tau_{0,5}=\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{\frac{h_0}{\eta^4g}}.\qquad (24)\]

2.6 Подстановка численных значений приводит к результату \[\tau_{0,5}=\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{\frac{h_0}{\eta^4g}}=\left(\sqrt{2}-1\right)\cdot 20^2\sqrt{\frac{0{,}20}{10}}\approx 23\ \text{с}.\qquad (25)\]