Теплокровный сферический кот

Часть 1: уравнение теплового баланса \(W=q\) для голого кота даёт \(t-t_0\propto R\); для котёнка и одетого кота — сравнить с ним. Часть 2: при нормировке постоянная \(C=\alpha_0\); минимум и максимум параболы \(W(t)\) — из положения корней.

Часть 1. Постоянное тепловыделение.

Основная идея расчета установившейся температуры – выполнение уравнения теплового баланса, когда мощность выделяющейся теплоты равна мощности теплоты, уходящей в окружающую среду \[W=q.\qquad (1)\] В рассматриваемой в части 1 модели это уравнение имеет вид \[wV=\beta S\left(t-t_0\right)\quad\Rightarrow\quad w\frac{4}{3}\pi R^3=\beta\cdot 4\pi R^2\left(t-t_0\right).\qquad (2)\] Это уравнение перепишем в виде \[t-t_0=\frac{wR}{\beta}.\qquad (3)\]

1.1 Из уравнения (3) следует, что разность между установившейся температурой и температурой окружающей среды пропорциональна радиусу тела. Следовательно, температура котенка будет меньше. Запишем уравнение (1) для кота и для котенка \[t_1-t_0=\frac{wR_0}{\beta},\qquad t_2-t_0=\frac{wR_0}{2\beta}.\qquad (4)\] Из этих уравнений следует, что \[\frac{t_2-t_0}{t_1-t_0}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad t_2=t_0+\frac{t_1-t_0}{2}.\qquad (5)\] Подстановка численных значений дает следующий результат: \[t_2=t_0+\frac{t_1-t_0}{2}=28^\circ.\qquad (6)\]

1.2.1 Запишем уравнения баланса (3) для голого и для одетого котенка \[t_2-t_0=\frac{wR_0}{2\beta_0},\qquad t_3-t_0=\frac{wR_0}{2\cdot\dfrac{\beta_0}{2}}=\frac{wR_0}{\beta_0}.\qquad (7)\] Из этих уравнений следует, что температура одетого котенка станет равной температуре голого кота \[t_3=t_1=36^\circ.\qquad (8)\]

1.2.2 В данном случае можно записать «двойного» уравнения баланса: мощность выделяющейся теплоты равна мощности теплоты, проходящей через слой одежды, и равна мощности теплоты уходящей в окружающую среду. \[wV=\gamma\frac{t-t_x}{h}S=\beta\left(t_x-t_0\right)S.\qquad (9)\] Здесь \(t_x\) – температура внешней поверхности одежды. Из второй части равенства (9) выразим значение \(t_x\) \[\gamma\frac{t-t_x}{h}S=\beta\left(t_x-t_0\right)S\quad\Rightarrow\quad t_x=\frac{at+t_0}{a+1}.\qquad (10)\] где обозначено \(a=\dfrac{\gamma}{h\beta_0}\). Теперь поток в окружающую среду можно представить в виде: \[\beta_0\left(t_x-t_0\right)S=\beta\left(\frac{at+t_0}{a+1}-t_0\right)S=\beta\frac{a}{a+1}S\left(t-t_0\right).\qquad (11)\] Таким образом, мощность потока теплоты от тела кота в окружающую среду пропорционален разности их температур. Полученное выражение формально совпадает с формулой (2), приведенной в условии задачи.

1.2.3 «Новый» коэффициент пропорциональности, как следует из формулы (11), равен \[\alpha_1=\beta S\frac{a}{a+1}=\alpha_0\frac{\gamma}{\gamma+h\beta_0}.\qquad (12)\] Из этого выражения следует, что при увеличении толщины слоя одежды коэффициент теплопередачи уменьшается, поэтому согласно уравнению (3) температура тела увеличивается.

Отметим, что при больших значениях теплопроводности коэффициент теплопередачи остается неизменным и равным \(\alpha_0\). При малой теплопроводности коэффициент теплопередачи полностью определяется теплопроводностью одежды: \(\alpha_1\approx\dfrac{\gamma}{h}S\).

Часть 2. «Живая» модель

Основной идеей решения этой части также является уравнение теплового баланса, которое в данной модели имеет вид \[A\left(t-t_{\min}\right)\left(t_{\max}-t\right)=\alpha_0\left(t-t_0\right),\qquad (13)\] которое является квадратным уравнением, поэтому при известных коэффициентах может быть решено аналитически.

2.1 Как оговорено в условии, при оптимальной температуре мощность тепловыделения максимальна. Зависимость \(W(t)=A(t-t_{\min})(t_{\max}-t)\) является квадратичной. Значения нулей этой функции очевидны: это \(t_{\min}\) и \(t_{\max}\). Как известно, вершина параболы находится на середине отрезка между корнями. Следовательно, оптимальная температура кота равна \[t_{opt}=\frac{1}{2}\left(t_{\min}+t_{\max}\right)=40^\circ.\qquad (14)\]

2.2 В уравнении теплового баланса (13) входят две неизвестных константы – коэффициенты пропорциональности \(A\) и \(\alpha_0\). Но это уравнение можно переписать следующим образом \[\overline{A}\left(t-t_{\min}\right)\left(t_{\max}-t\right)=\left(t-t_0\right),\qquad (15)\] В этом уравнении одна неизвестная постоянная величина \(\overline{A}=\dfrac{A}{\alpha_0}\), которая может быть найдена из заданного значения \(t_0^*=20^\circ\). Поэтому коэффициента теплоотдачи и служит нормировочной постоянной. Поэтому \[C=\alpha_0;\qquad \overline{W}=\overline{A}\left(t-t_{\min}\right)\left(t_{\max}-t\right);\qquad \overline{q}=t-t_0.\qquad (16)\] Нормировочная постоянная \(C\) (она же \(\alpha_0\)) равна мощности теплоты, уходящей в окружающую среду, пир разности температур поверхности и воздуха равной \(1^\circ\). Отметим, что нормированные мощности измеряются в градусах Цельсия! В нормированных функциях мощностей имеется только один параметр \(\overline{A}\), который рассчитывается по дополнительному условию: при \(t_0^*=20^\circ\) температура кота оптимальна \(t_{opt}\). Тогда из уравнения (15) находим: \[\overline{A}=\frac{t_{opt}-t_0^*}{\left(t_{opt}-t_{\min}\right)\left(t_{\max}-t_{opt}\right)}=0{,}20\ \frac{1}{^\circ\text{C}}.\qquad (17)\]

2.3 Построение начнем с примитивного графика функции \(\overline{q}(t)=t-t_0\). График – прямая линия с коэффициентом наклона равным единице, и пересекающая ось температур в точке \(t_0\). График функции \(\overline{W}(t)=\overline{A}(t-t_{\min})(t_{\max}-t)\) является параболой, ветви которой направлены вниз. Нули и положение вершины этой функции были «найдены» ранее. Максимальное значение функции \(\overline{W}(t)\) можно рассчитать, подставив значение \(t=t_{opt}\): \(\overline{W}(t)=\overline{A}(t_{opt}-t_{\min})(t_{\max}-t_{opt})=20^\circ\). Заметим, что это значение можно определить и по функции \(\overline{q}(t)\). Эта прямая проходит через вершину параболы. Точка пересечения прямой с осью температур отстоит от температуры вершины параболы на \(20^\circ\). Так как наклон прямой равен 1, то значение мощности в точке пересечения с параболой тоже равно \(20^\circ\).

Так как авторы заданий любезно разрешили проводить промежуточные расчеты, то запишем уравнение теплового баланса «в числах».

2.4 Для расчета установившейся температуры, надо решить квадратное уравнение (18) при нужном значении температуры воздуха. \[t^2-75t+\left(1500-5t_0\right)=0.\qquad (18)\]

Так при \(t_0=35^\circ\) это уравнение имеет два корня \[t_{(1)}=28{,}5^\circ,\qquad t_{(2)}=46{,}5^\circ.\] Первый корень надо отбросить, так как он выходит за пределы диапазона жизнедеятельности. При \(t_0=25^\circ\) корнями уравнения (18) являются \[t_{(1)}=32^\circ,\qquad t_{(2)}=43^\circ.\] Чтобы понять смысл двух корней дадим графическую иллюстрацию этих решений. На графике «видны» корни уравнения как точки пересечения прямых с параболой. Но эти корни являются точками равновесия, которое может быть, как устойчивым, так и неустойчивым! Легко показать, что только больший корень \(t_{(2)}\) (на ниспадающей ветви параболы) является устойчивым. Действительно, при температуре большей \(t_{(2)}\) мощность потерь превысит мощность тепловыделения, поэтому кот начнет остывать. Если температура станет меньше значения \(t_{(2)}\) ситуация обратная: мощность тепловыделения превышает мощность потерь, поэтому температура будет повышаться. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что меньший корень неустойчив, поэтому это значение температуры реализовываться не будет. Таким образом, установившиеся температуры равны: при \(t_0=35^\circ\): \(t=46{,}5^\circ\); при \(t_0=25^\circ\): \(t=43^\circ\).

2.5 Чтобы найти допустимый диапазон температур воздуха, мысленно построим на графике мощностей тепловыделения и теплопотерь несколько прямых графиков \(\overline{q}(t)\) при различных значениях температуры воздуха \(t_0\). Кот сможет жить при температуре воздуха \(t_0\), если соответствующая прямая пресекается с параболой \(\overline{W}(t)\). На рисунке показаны «крайние» прямые. Не сложно заметить, что максимальная температура воздуха равна \[t_{0\max}=t_{\max}=50^\circ.\qquad (20)\] Минимальной температуре воздуха соответствует прямая, которая является касательной к параболе. Теперь заметим, что в этом случае уравнение баланса (18) имеет единственный корень, при этом дискриминант уравнения обращается в нуль! Записываем значения дискриминанта и приравниваем его к нулю \[D=\left(\frac{75}{2}\right)^2-\left(1500-5t_0\right)=0.\qquad (21)\] Из этого условия находим минимальную температуру воздуха, при которой кот выживает: \[t_{0\min}\approx 19^\circ.\qquad (22)\]

2.6 Уравнение теплового баланса с изменяющимся коэффициентом теплоотдачи в нормированном виде имеет вид \[\overline{A}\left(t-t_{\min}\right)\left(t_{\max}-t\right)=\frac{\alpha}{\alpha_0}\left(t-t_0\right).\qquad (23)\] Необходимо, чтобы при любом значении \(t_0\) один из корней этого уравнения был равен \(t_{opt}=40^\circ\). Вспомним, что при этой температуре, мощность тепловыделения максимальна (\(\overline{W}_{\max}=20^\circ\)). Таким образом, из уравнения (23) получаем, что необходимая зависимость имеет вид \[\frac{\alpha}{\alpha_0}=\frac{\overline{W}_{\max}}{t_{opt}-t_0}=\frac{20}{40-t_0}.\qquad (24)\] Изменение коэффициента теплопередачи приводит к изменению наклона прямой, являющейся графиком зависимости \(\overline{q}(t)\). Все эти прямые должны проходить через вершину параболы и пересекать ось температур в точке \(t_0\) (см. рисунок).

2.7 График зависимости \(\dfrac{\alpha(t_0)}{\alpha_0}\) показан на рисунке. Понятно, что при понижении температуры теплоотдачу (следовательно, и коэффициент теплопередачи) надо уменьшать.

2.8 Для строго определения нужного коэффициента надо построить касательную к параболе, проходящую через начало координат. однако для оценки можно принять, что прямая отдачи проходит через вершину параболы. В этом случае, искомое значение можно найти по формуле (24) при \(t_0=0^\circ\). Поэтому \[\frac{\alpha}{\alpha_0}=0{,}5\qquad (25)\] т.е. коэффициент теплоотдачи надо уменьшить в два раза.