Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином

Задачу 2 можно решать без точного расчёта: при \(R_2 \gg R_1\) токи через \(R_2\) малы; сумму утечек удобно считать через напряжения на шунтах, которые линейно зависят от номера узла. В задаче 3 — ищите сопротивление цепочки как неподвижную точку рекуррентного соотношения. В задаче 4 разбейте кабель на куски длины \(\Delta l\) и используйте результат задачи 3.

Задача 1.

1.1 Расчет характеристик приведенной цепи традиционен и основан на законах параллельного и последовательного соединения проводников. Результаты расчетов приведены в Таблице 1 (лист ответов; здесь — в виде формул): \[R_{x3}=R,\quad I'_3=I_3\frac{R_{x3}}{2R}=\frac{1}{2}I_3,\quad I_2=I_3+I'_3=\frac{3}{2}I_3;\] \[R_{x2}=R+\frac{2R\cdot R_{x3}}{2R+R_{x3}}=\frac{5}{3}R,\quad I'_2=I_2\frac{R_{x2}}{2R}=\frac{5}{4}I_3,\quad I_1=I_2+I'_2=\frac{11}{4}I_3;\] \[R_{x1}=R+\frac{2R\cdot R_{x2}}{2R+R_{x2}}=\frac{21}{11}R,\quad I'_1=I_1\frac{R_{x1}}{2R}=\frac{21}{8}I_3,\quad I_0=I_1+I'_1=\frac{43}{8}I_3;\] \[R_{x0}=R+\frac{2R\cdot R_{x1}}{2R+R_{x1}}=\frac{85}{43}R.\]

1.2 Сила тока \(I_0\) определяется по закону Ома (сопротивление всей цепи есть \(R_{x0}\)): \[I_0=\frac{U_0}{R_{x0}}=\frac{43U_0}{85R}.\] В Таблице получена связь между токами, из которой следует \[I_0=\frac{43}{8}I_3 \quad\Rightarrow\quad I_3=\frac{8}{43}I_0=\frac{8U_0}{85R}.\]

1.3 Требуемые отношения сил токов равны \[\frac{I_1}{I_0}=\frac{11}{4}\cdot\frac{8}{43}=\frac{22}{43}\approx 0{,}51,\qquad \frac{I_2}{I_1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{11}=\frac{6}{11}\approx 0{,}55.\]

Задача 2.

2.1 В условии исходные данные заданы с двумя значащими цифрами, поэтому с такой же точностью следует проводить расчет цепи. Сопротивления \(R_2\) в тысячу раз меньше сопротивлений \(R_1\) \[I_0\approx I_1=\frac{U_0}{7R_1}=1{,}0\ \text{А}.\]

2.2 Разность сил токов \(\Delta I=(I_0-I_1)\) равна сумме сил токов «утечки» через резисторы \(R_2\). Выберем произвольный резистор, номер которого обозначим \(k\) \((k=1,2,\dots 7)\). В рамках использованного приближения напряжение на этом резисторе равно \[U'_k=U_0-I_0R_1k=\frac{U_0}{7}(7-k).\] Поэтому сила тока через этот резистор равна \[I'_k=\frac{U'_k}{R_2}=\frac{U_0}{7R_2}(7-k).\] Осталось просуммировать эти силы токов: \[\Delta I=(I_0-I_1)=\sum_{k=1}^{7}I'_k=\sum_{k=1}^{7}\frac{U_0}{7R_2}(7-k).\] Элементарный расчет приводит к результату \[\Delta I=\frac{U_0}{3R_2}=0{,}33\ \text{мА}.\]

Задача 3.

3.1 Расчет сопротивления бесконечной цепочки достаточно известен. Обозначим это сопротивление \(R_x\). Если от бесконечной цепочки мысленно отключить первое звено, то сопротивление оставшейся цепочки также будет равно \(R_x\). Это позволяет построить эквивалентную схему цепочки.

Запишем теперь выражение для сопротивления всей цепочки \[R_x=R_1+\frac{R_xR_2}{R_x+R_2}.\] Это выражение следует рассматривать как квадратное уравнение для нахождения неизвестного сопротивления \(R_x\): \[R_x^2-R_xR_1-R_1R_2=0.\] Положительный корень этого уравнения определяется по формуле (отрицательного сопротивления физического смысла не имеет): \[R_x=\frac{R_1+\sqrt{R_1^2+4R_1R_2}}{2}.\] При \(R_1=R_0\), \(R_2=2R_0\) сопротивление цепочки оказывается равным \[R_x=2R_0.\]

3.2 Рассмотрим произвольное звено бесконечной цепочки, схема которого и направления сил токов показаны на рисунке. Для этих сил токов можно записать два равенства \[I_{k-1}=I_k+I'_k,\qquad I_kR_x=I'_kR_2.\] Из этих выражений следует, что \[I_k=\frac{I_{k-1}}{1+\dfrac{R_x}{R_2}}.\] Это рекуррентное соотношение определяет геометрическую прогрессию для последовательности значений сил токов. В явном виде можно записать формулу для геометрической прогрессии \[I_k=\gamma^kI_0,\qquad \gamma=\left(1+\frac{R_x}{R_2}\right)^{-1},\qquad I_0=\frac{U_0}{R_x}.\] При \(R_1=R_0\), \(R_2=2R_0\) получаем \(\gamma=\dfrac{1}{2}\) и \(I_0=\dfrac{U_0}{2R_0}\).

3.3 Подстановка параметров цепи в эти формулы дает \(\gamma=\dfrac{1}{2}\), \(I_0=\dfrac{U_0}{2R_0}\). Тогда значения всех сил токов описываются формулой \[I_k=\frac{U_0}{2R_0}\cdot 2^{-k}.\] Иными словами, после каждого звена сила тока уменьшается в два раза.

3.4 При условии \(R_2\gg R_1\) в формуле (11) надо оставить только самое большое слагаемое, которое определяет сопротивление всей цепи \[R_x\approx\sqrt{R_1R_2}.\]

3.5 В этом случае значения сил токов также образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии и сила тока в цепи равны \[\gamma=\left(1+\frac{R_x}{R_2}\right)^{-1}=\left(1+\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^{-1}\approx\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right),\qquad I_0=\frac{U_0}{\sqrt{R_1R_2}}.\] Тогда явный вид формулы для значений сил токов записывается в виде: \[I_k=\frac{U_0}{\sqrt{R_1R_2}}\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^k.\]

Задача 4.

4.1 Сопротивление медной жилы длиной \(\Delta l\) рассчитывается по формуле \[R_1=\rho_1\frac{4\Delta l}{\pi d_0^2}.\] Подставив численные значения, получим (все величины в системе СИ): \[R_1=1{,}7\cdot 10^{-8}\frac{4\cdot 10^{4}}{\pi\left(2\cdot 10^{-2}\right)^2}=0{,}54\ \text{Ом}.\] Сопротивление всего кабеля \[R_{1\Sigma}=R_1\frac{L}{\Delta l}=0{,}54\cdot\frac{5000}{10}=270\ \text{Ом}.\]

4.2 Ток через изоляцию протекает перпендикулярно оси кабеля, поэтому ее сопротивление равно \[R_2=\rho_2\frac{h}{\pi\left(d_0+\dfrac{h}{2}\right)\Delta l}=1{,}7\cdot 10^{10}\frac{5{,}0\cdot 10^{-3}}{\pi\cdot 25\cdot 10^{-3}\cdot 10^{4}}=1{,}1\cdot 10^{5}\ \text{Ом}.\]

Толщина изоляции сравнима с диаметром жилы, поэтому площадь поперечного сечения увеличивается по мере удаления от жилы. Поэтому в качестве разумного приближения взято сечение на половине слоя изоляции.

4.3 Не смотря на то, что кабель представляет непрерывную систему, можно разбить ее на отдельные куски некоторой длины \(\Delta l\) (например 10 км). В этом случае эквивалентной схемой является бесконечная цепочка, рассмотренная в задаче 3.

4.4 Для расчета отношения сил токов на выходе и входе следует воспользоваться формулой (19) \[I_1=I_0\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^N,\qquad N=\frac{L}{\Delta l}.\] Выразим отношение сопротивлений, входящих в эту формулу: \[\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\frac{4\Delta l}{\pi d_0^2}\cdot\frac{\pi\left(d_0+\dfrac{h}{2}\right)\Delta l}{h}}=\alpha\,\Delta l.\] Введенная здесь постоянная величина равна \[\alpha=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\frac{4\left(d_0+\dfrac{h}{2}\right)}{d_0^2h}}=5{,}0\cdot 10^{-7}\ \text{м}^{-1}.\]

Теперь можно переписать формулу в виде \[\frac{I_1}{I_0}=\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^N=\left(1-\alpha\Delta l\right)^{\frac{L}{\Delta l}}.\] Можно убедиться в том, что при \(\alpha\Delta l\ll 1\) результаты расчетов практически не зависят от искусственно выбранного значения \(\Delta l\). Так при \(\Delta l=10\) км получаем \[\frac{I_1}{I_0}=\left(1-\alpha\Delta l\right)^{\frac{L}{\Delta l}}=\left(1-5{,}0\cdot 10^{-7}\cdot 10^{4}\right)^{500}=0{,}082.\] Т.е. сила тока уменьшилась примерно в 20 раз. Понятно, что не утечка тока являлась основной причиной неработоспособности трансатлантического кабеля!

Дополнение (от участников олимпиады не требуется). Строго говоря, в формуле (27) необходимо устремить \(\Delta l\to 0\). В этом случае \[\frac{I_1}{I_0}=\left(1-\alpha\Delta l\right)^{\frac{L}{\Delta l}}=\exp(-\alpha L)=0{,}082,\] что совпадает с ранее полученным результатом. Также можно указать смысл постоянной \(\alpha\): обратная ей величина \(\dfrac{1}{\alpha}\approx 2000\) км есть расстояние, на котором сила тока в кабеле убывает в \(e\approx 2{,}7\) раза.