Шарик, отскакивающий от движущейся стенки

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе со стенкой: там стенка неподвижна, и при упругом ударе проекция скорости шарика на нормаль к стенке меняет знак.

Рисунок соответствует лабораторной инерциальной системе отсчёта (ЛИСО), связанной с Землёй. Шарик в момент броска находится в начале координат. Левая сторона стенки в момент броска находится на расстоянии \(L_0\) от начала координат (по условию не дано). Координаты шарика изменяются со временем по закону \[x(t) = v_0\cos\alpha\,t \ \ (t\le\tau), \qquad y(t) = v_0\sin\alpha\,t - \frac{gt^2}{2}\ \ (t\le t_{\text{пад}}),\] координата левой стороны стенки \(X(t) = L_0 + Vt\). В момент соударения \(X(\tau) = x(\tau)\), откуда \[\tau = \frac{L_0}{v_0\cos\alpha - V} \qquad (1).\] Из положительности \(\tau\) получаем \(v_0\cos\alpha - V > 0\) — это условие того, что брошенный шарик «догонит» удаляющуюся от него стенку. Расстояние \(L\) (вдоль горизонта) от точки броска до точки столкновения \[L = X(\tau) = x(\tau) = \frac{L_0\,v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - V} \qquad (2).\] Проекции скоростей шарика: \(v_x(t) = v_0\cos\alpha\) при \(t\le\tau\), \(v_y(t) = v_0\sin\alpha - gt\).

Перейдём в движущуюся инерциальную систему отсчёта (ДИСО), связанную со стенкой. В ней скорость стенки равна нулю, а скорость шарика \(\vec v^{\,*} = \vec v - \vec V\); в проекции на ось \(x\): \(v_x^* = v_x - V\). Акт упругого соударения с очень тяжёлой стенкой в ДИСО описывается так: \(v_x^*(\tau + 0) = -v_x^*(\tau - 0)\); само соударение длится нулевое время. Отсюда \[v_x^*(\tau - 0) = v_0\cos\alpha - V, \qquad v_x^*(\tau + 0) = V - v_0\cos\alpha,\] и в ЛИСО \[v_x(\tau + 0) = v_x^*(\tau + 0) + V = 2V - v_0\cos\alpha.\] Поскольку шарик после соударения летит в сторону, противоположную оси \(x\) (чтобы вернуться в точку бросания — начало координат), должно выполняться \(v_x(\tau+0) < 0\), т.е. \(2V < v_0\cos\alpha\). Далее работаем только в ЛИСО.

Пусть \(\tau_2\) — время полёта шарика от момента соударения со стенкой до возвращения в точку бросания. Тогда \[0 = x(\tau + \tau_2) = L + v_x(\tau+0)\,\tau_2 = \frac{L_0\,v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - V} + (2V - v_0\cos\alpha)\,\tau_2 \qquad (3).\] Ещё одно простое соотношение следует из того, что шарик возвращается в точку бросания: \[\tau\,v_0\cos\alpha = (v_0\cos\alpha - 2V)\,\tau_2 = L \qquad (4),\] откуда \[\tau_2 = \tau\,\frac{v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - 2V} = \frac{v_0\cos\alpha}{v_0\cos\alpha - 2V}\cdot\frac{L_0}{v_0\cos\alpha - V} \qquad (5).\] Движение по вертикали — движение тела, брошенного вверх в поле тяжести; на него соударение не влияет: \[\tau + \tau_2 = \frac{2v_0\sin\alpha}{g} \qquad (6).\] Решая совместно (3)–(6), получаем: \[\tau = \frac{v_0\sin\alpha\,(v_0\cos\alpha - 2V)}{g\,(v_0\cos\alpha - V)}, \qquad \tau_2 = \frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g\,(v_0\cos\alpha - V)},\] \[L = \frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha\,(v_0\cos\alpha - 2V)}{g\,(v_0\cos\alpha - V)}, \qquad H = \frac{v_0^3\sin^2\alpha\cos\alpha\,(v_0\cos\alpha - 2V)}{2g\,(v_0\cos\alpha - V)^2},\] где \(v_0\cos\alpha - 2V > 0\). Заменив во всех ответах \(V\) на \(-V\), получим решение аналогичной задачи, в которой стенка движется навстречу брошенному шарику.