Год Земли при изменении её массы

Сравните массу Земли с массой Солнца в обоих случаях. Если масса Земли мала, Солнце практически неподвижно; если они равны, оба тела вращаются вокруг общего центра масс.

Будем пренебрегать массами других планет солнечной системы и считать, что орбита Земли круговая.

1. Т.к. масса Земли \(M_3\) много меньше массы Солнца \(M_C\): \(M_3 \ll M_C\), и Земля вращается вокруг неподвижного Солнца с периодом \(T_0 = 365{,}25\) дней, который можно рассчитать так: \[M_3\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 L = G\frac{M_3M_C}{L^2}, \quad\Rightarrow\quad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{GM_C}},\] где \(L\) — расстояние от Земли до Солнца. Период обращения Земли вокруг Солнца не изменится, т.к. при условии \(M_3 \ll M_C\) он не зависит от массы Земли.

2. Если масса Земли становится сопоставимой с массой Солнца, то притяжение Землей Солнца приведёт к движению последнего, и уже нельзя считать Солнце неподвижным. В этом случае следует учитывать, что Солнце и Земля представляют собой двойную систему и вращаются вокруг общего центра масс, который уже не находится в центре Солнца. Если бы масса Земли стала равной массе Солнца: \(M_3 = M_C = M\), то центр масс такой системы оказался бы посредине между Землёй и Солнцем. Тогда период вращения Земли следует рассчитывать по формуле: \[M\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{L}{2} = G\frac{M^2}{L^2}, \quad\Rightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{2GM}}.\] Ответ: (\(M = M_C\)) \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L^3}{2GM_C}} = \dfrac{T_0}{\sqrt{2}} = 258\) дней.