Гибкая леска

Длину лески можно найти по периоду обычного маятника, период крутильных колебаний даёт \(\kappa\) через момент инерции груза; радиус груза определите по числу витков лески, которые помещаются вокруг цилиндра.

\(R=17{,}4\) мм, \(c=4{,}9\cdot10^{-7}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2\) (по результатам измерений организаторов).

Подвесим груз на конец лески и найдём значение \(c=\kappa L\) как минимум для трёх разных длин лески.

Сначала найдём длину лески \(L\) с помощью обычного маятника, измеряя секундомером период колебаний маятника \(T_p\) (для лучшей точности измеряем время \(t\), затрачиваемое на \(N\) периодов колебаний, и находим \(T_p=\frac{t}{N}\)). Зная, что период колебаний математического маятника равен \(T_p=2\pi\sqrt{L/g}\) (\(L\) должна быть достаточно большой, чтобы груз можно было приблизить материальной точкой), находим длину маятника \(L=g\left(\frac{T_p}{2\pi}\right)^2\).

Теперь приведём груз в положение равновесия и повернём груз вокруг его оси так, чтобы леска оставалась вертикальной. Угол поворота должен быть достаточно большим, чтобы колебания были хорошо видны, но достаточно малым, чтобы выполнялся закон Гука. Измеряем секундомером период колебаний по часовой стрелке-против часовой стрелки \(T_v\) (аналогично предыдущему, для лучшей точности измеряем \(N\) периодов и делим время на число колебаний). Так как \(\tau=I\alpha\) и \(\tau=-\kappa\theta\), то для груза выполняется уравнение \(\alpha=-\frac{\kappa}{I}\theta\). Заметим, что оно аналогично уравнению движения пружинного маятника: \(F=ma\) и \(F=-kx\), откуда \(a=-\frac{k}{m}x\). Зная, что решение этого уравнения для пружинного маятника — гармоническое колебание с периодом \(T=2\pi\sqrt{m/k}\), для крутильного маятника решением аналогично является гармоническое колебание угла поворота с периодом \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\). Следовательно, \(\kappa=I\left(\frac{2\pi}{T_v}\right)^2\).

Заметим, что для вычисления \(I\) нужно знать радиус груза \(R\). Для оценки радиуса посчитаем, сколько раз можно обернуть леску вокруг цилиндра (чем длиннее \(L\), тем точнее). Если леска длиной \(L\) делает вокруг цилиндра \(m\) витков (\(m\) может быть дробным), то \(m=\frac{L}{2\pi R}\) (в предположении, что диаметр лески ничтожен). Следовательно, \(R=\frac{L}{2\pi m}\). Момент инерции груза находим по формуле \(I=\frac12MR^2\), где \(M=0{,}1\) кг.

Наконец, вычисляем для каждой \(L\) значение \(c=\kappa L\) и находим среднее. По результатам измерений \(R=17{,}4\) мм и \(c=4{,}9\cdot10^{-7}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.