Пятно от линзы

На рисунке 4.23 изображён ход лучей через линзу.

Обозначим расстояния от линзы до источника и до изображения \(x\) и \(y\) соответственно, диаметр линзы \(D\), диаметр пятна на экране \(d\). Тогда из подобия треугольников: \[d = D\cdot\dfrac{x + y - L}{y} = D\left(\dfrac{x - L}{y} + 1\right).\] Найдём такое \(x\), при котором \(d\) минимально. Отметим, что не имеет смысла рассматривать значения \(x \leqslant F\), так как в этом случае \(d \geqslant D\), и размер пятна явно не может быть минимальным. Ясно, что \(d\) будет минимальным тогда, когда минимальное значение примет функция \[f = \dfrac{x - L}{y}.\] Применяя формулу тонкой линзы, получаем: \[\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{F} - \dfrac{1}{x}.\] Следовательно, \[f = \dfrac{(x - L)(x - F)}{Fx} = \dfrac{1}{F}\left(x + \dfrac{LF}{x} - (L + F)\right) = \dfrac{1}{F}\left(\left(\sqrt x - \dfrac{\sqrt{LF}}{\sqrt x}\right)^2 - \left(\sqrt L - \sqrt F\right)^2\right).\] Выражение \(\left(\sqrt x - \dfrac{\sqrt{LF}}{\sqrt x}\right)^2 - \left(\sqrt L - \sqrt F\right)^2\) минимально тогда, когда первое слагаемое равно нулю: \(\sqrt x = \dfrac{\sqrt{LF}}{\sqrt x}\). Отсюда \(x_0 = \sqrt{LF}\). Этому значению \(x_0\) соответствует минимально возможный диаметр пятна на экране: \[d = D\cdot\dfrac{2\sqrt{LF} - L}{F}.\]