Графен, графит, алмаз

Найдите, сколько атомов приходится на одну ячейку, и разделите массу этих атомов на площадь ячейки, а для объёмных решёток — на объём. Атом, общий для нескольких ячеек, считайте с долей.

1.1) \(\sigma=\dfrac{4}{3\sqrt3}\dfrac{M}{N_Aa_0^2}\approx7{,}61\cdot10^{-7}\) кг/м\(^2\); 2.2) \(\rho_{\text{графита}}\approx2{,}28\cdot10^3\) кг/м\(^3\); 3.2) \(\rho_{\text{алмаза}}\approx3{,}62\cdot10^3\) кг/м\(^3\).

Часть 1. Графен

1.1 В решетке графена в шести вершинах каждого шестиугольника находится по одному атому. Но каждый атом входит в три соприкасающихся шестиугольника. Следовательно, на площади одного шестиугольника в среднем находится два атома. Поэтому поверхностная плотность графена может быть рассчитана по формуле

\[\sigma = \frac{2m}{S_0}.\tag{1}\]

Здесь \(m = \frac{M}{N_A}\) - масса атома углерода,

\[S_0 = 6 \cdot \frac{1}{2} a_0^2 \sin 60^\circ = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_0^2\tag{2}\]

площадь шестиугольника. После подстановки этих выражений в формулу (1), получаем

\[\sigma = \frac{2m}{S_0} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{M}{N_A a_0^2}.\tag{3}\]

Подстановка численных значений приводит к результату

\[\sigma = \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{M}{N_A a_0^2} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{12{,}0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{6{,}02 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text{моль}} \cdot (0{,}142 \cdot 10^{-9}) \text{м}^2} = 7{,}61 \cdot 10^{-7} \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}.\tag{4}\]

Часть 2. Графит

2.1 В условии задачи сказано, что атомы в соседних слоях смещены относительно друг друга, поэтому правильное расположение атомов в соседних слоях показано на следующем рисунке

Для наглядности совместим эти слои. Таким образом, в каждом слое имеется такая же гексагональная плоская решетка, как и в графене. Поэтому поверхностная плотность в каждом слое также будет определяться по формуле (3), только с немного иным значением длины стороны шестиугольника. Слои находятся на расстоянии \(h\). Иными словами, в «пластинке» толщиной \(h\) находится один слой атомов. Поэтому плотность графита рассчитывается по формуле

\[\rho = \frac{\sigma}{h} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{M}{N_A a_0^2 h}.\tag{5}\]

Численное значение

\[\rho = \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{M}{N_A a_0^2 h} = \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{12{,}0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{6{,}02 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text{моль}} \cdot (0{,}1415 \cdot 10^{-9}) \text{м}^2 \cdot 0{,}3354 \cdot 10^{-9} \text{м}} = 2{,}28 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\]

Отметим, что табличное значение плотности графита \(2{,}22\ldots2{,}27 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\).

Часть 3. Алмаз

3.1 Располагать атомы в каждом слое удобно последовательно, в соответствии с описанным порядком построения решетки. Результат показан на рисунке.

Понятно, что слои 1 и 2 полностью повторяют друг друга. И в этом случае покажем результат совмещения слоев 2 и 3.

3.2 Плотность алмаза можно рассчитывать различными способами, но, по-видимому, самый простой способ воспользоваться приведенной математической подсказкой. Как следует из приведенного построения, расположения атомов в каждом слое идентичны. Это расположение можно представить как набор правильных треугольников, покрывающих плоскость. Длина стороны и площадь такого треугольника приведена в подсказке! Понятно, что в среднем на каждый треугольник приходится только половина атома (так как каждый атом входит в шесть стыкующихся треугольников). Следовательно, поверхностная плотность атомов в каждом слое равна

\[\sigma_{2} = \frac{1}{2} \frac{m}{S_{3}} = \frac{1}{2} \frac{M}{N_{A} \sqrt{\frac{4}{3}} a^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{M}{N_{A} a^{2}}.\tag{6}\]

Теперь обратим внимание, что рассмотренные слои расположены на неодинаковых расстояниях. Опять же, с помощью подсказки можно заметить, что расстояния между слоями чередуются: сначала слои располагаются на расстоянии \(a\), а потом на расстоянии \(\frac{a}{3}\). Следовательно, на толщине \(H = \frac{4}{3} a\) располагаются два слоя, поэтому плотность алмаза равна

\[\rho = \frac{2 \sigma_{2}}{H} = 2 \frac{\sqrt{3}}{4} \frac{M}{N_{A} a^{2} \frac{4}{3} a} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} \frac{M}{N_{A} a^{3}}.\tag{7}\]

Численные расчеты приводят к следующему результату

\[\rho = \frac{3 \sqrt{3}}{8} \frac{M}{N_{A} a^{3}} = \frac{3 \sqrt{3}}{8} \frac{12{,}0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{6{,}02 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text{моль}} \cdot \left(0{,}153 \cdot 10^{-9}\right) \text{м}^{3}} = 3{,}62 \cdot 10^{3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}.\tag{8}\]

Часть 4.

4.1 В решетке алмаза все атомы связаны четырьмя ковалентными связями, поэтому свободных электронов нет. В графите атомы связаны в гексагональном слое с тремя соседними, потому одна связь остается свободной. Электроны, обеспечивающие эту связь, оказываются свободными, они и являются носителями электрического тока.

4.2 Свободные электроны легко могут двигаться между слоями кристаллической решетки, но с большим трудом преодолевают слои с густо расположенными атомами. Поэтому электрическое сопротивление поперек слоев намного больше, чем сопротивление при протекании тока вдоль слоев – по литературным данным, более чем в 1000 раз!

4.3 В приведенной модели имеются атомы, имеющие 6 (шесть!) связей. В то время как углерод четырехвалентен, поэтому более 4 связей быть не может!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.