Блоки, песочные часы и зеркала

Блоки: выигрыш в силе равен числу нитей, поддерживающих груз. Песочные часы: поток песчинок через любое сечение один и тот же, а скорость растёт как при свободном падении. Зеркала: стройте мнимые изображения источника.

1.1) \(k_1=2\), \(k_2=4\); 1.2) подвижный блок на трёх нитях; 2) \(n=\dfrac{N}{S\sqrt{v_0^2+2gz}}\), \(m=m_0N\sqrt{2L/g}\); 3) построение по мнимым изображениям \(S_1\), \(S_4\), \(S_5\).

Задача 1. Блоки

1.1 Так как нить и блоки невесомы и трение отсутствует, то сила натяжения нити во всех точках одинакова. Поэтому выигрыш в силе равен числу нитей, которые поднимают груз (создают силу \(\vec{F}\)). Поэтому система блоков на рис. 1 дает выигрыш в силе в два раза \(k_1 = \frac{F}{F_0} = 2\). Система блоков, изображенная на рис. 2 дает выигрыш в четыре раза \(k_2 = \frac{F}{F_0} = 4\).

Примечание. Это же решение можно обосновать ссылкой на закон сохранения энергии («золотой правило механики»).

1.2 Чтобы получить выигрыш в силе в три раза, подвижный блок необходимо подвесить на трех нитях. Например, так, как показано на рисунке.

Задача 2. Песочные часы

Число песчинок, пересекающих любое поперечное сечение струи (на любой высоте) в единицу времени, остается постоянным.

Рассмотрим малый промежуток времени \(\Delta t\), настолько малый, что на этом промежутке можно пренебречь изменением скорости песчинок. За это время песчинки, находящиеся на расстоянии \(v\Delta t\) выбранного поперечного сечения струи успеют пролететь через это сечение. Это число можно выразить через концентрацию песчинок \(n\) на выбранной высоте следующим образом

\[\Delta N = nSv\Delta t\tag{1}\]

С другой стороны это же число равно числу песчинок высыпающихся из отверстия

\[\Delta N = N\Delta t\tag{2}\]

Из этих выражений следует, что концентрация песчинок на высоте \(z\) от отверстия описывается формулой

\[n = \frac{N}{S v(z)} \, ,\tag{3}\]

Где \(v(z)\) - скорость песчинок на расстоянии \(z\) от отверстия. Зависимость скорости от координаты может быть найдена различными способами, например, с использованием кинематической формулы

\[z = \frac{v^2 - v_0^2}{2g} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{v_0^2 + 2gz} \, .\tag{4}\]

Тогда зависимость концентрации от высоты будет иметь вид

\[n = \frac{N}{S \sqrt{v_0^2 + 2gz}} \, .\tag{5}\]

Масса песка в воздухе может быть найдена простым способом. Так как время падения песчинок равно

\[L = \frac{g t^2}{2} \quad \Rightarrow \quad t = \sqrt{\frac{2L}{g}} \, ,\tag{6}\]

То масса струи равна массе песчинок, выпавших из отверстия за это время

\[m = m_0 N t = m_0 N \sqrt{\frac{2L}{g}} \, .\tag{7}\]

Задача 3. Зеркала

Построения хода лучей удобно проводить, предварительно построив мнимые изображения источника в зеркалах. Не сложно увидеть, что все эти источники будут находиться на окружности с центром в точке пересечения продолжений зеркал.

Рассмотрим построение хода луча 1. Луч 1 после попадания на верхнее зеркало, отражается так, что продолжение этого луча проходит через изображение \(S_1\) (это изображение описывает лучи, отраженные от верхнего зеркала). После попадания на нижнее зеркало луч отражается от него, продолжение луча проходит через изображение \(S_4\). Наконец

еще одно отражение от верхнего зеркала дает луч, продолжение которого проходит через изображение \(S_5\). Ход второго луча строится аналогично – он также показан на рисунке.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.